10.1. Графический способ решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Определения и обозначения

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными — это два уравнения, которые должны выполняться одновременно для одной пары значений неизвестных. Обычно неизвестные обозначают x и y, а уравнения записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Слово «система» напоминает: нельзя решить только одно условие и считать задачу законченной. Нужно найти числа, подходящие сразу к обоим уравнениям.

Решение системы — это пара чисел, при подстановке которой оба уравнения превращаются в верные равенства. Например, если пара (1; 2) является решением, то x = 1, y = 2 должны удовлетворять каждому уравнению. Такая проверка помогает отличить общее решение от числа, подходящего лишь к одному уравнению. Порядок в записи пары важен: сначала указывают значение x, затем значение y.

График уравнения с двумя неизвестными — множество всех точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Каждой точке соответствуют координаты (x; y), поэтому по графику можно увидеть все пары, подходящие уравнению. Для уравнения первой степени графиком будет прямая. Это позволяет представить множество возможных пар не списком, а на чертеже.

Графический способ решения системы состоит в том, чтобы построить графики обоих уравнений и найти их общие точки. Каждая общая точка подходит каждому графику, а значит, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Способ нужен, чтобы увидеть число решений и получить их координаты. Если точку трудно определить точно по чертежу, результат проверяют вычислениями.

Как это устроено

Общее уравнение первой степени с двумя неизвестными можно записать как ax + by = c, где a, b и c — числа, а a и b одновременно не равны нулю. Если b ≠ 0, перенесём ax в правую часть и разделим обе части на b: получим y = −a/b · x + c/b. Это вид y = kx + b, где коэффициенты задают наклон прямой и её пересечение с осью y. Каждое значение x даёт соответствующее значение y, а полученные пары располагаются на одной прямой.

У точки пересечения есть одновременно две координаты: первая принадлежит графику первого уравнения, а вторая — графику второго. Поэтому координаты такой точки удовлетворяют каждому уравнению, то есть являются решением системы. Точка только на одной прямой выполняет лишь одно условие и решением системы не будет. Так геометрическое пересечение графиков выражает требование выполнять оба уравнения сразу.

Две прямые могут пересечься в одной точке, совпасть или быть параллельными. При пересечении имеется одна общая точка, следовательно, одно решение; совпадающие прямые состоят из одних и тех же точек, поэтому решений бесконечно много. У параллельных прямых общих точек нет, значит, нет и пары, подходящей обоим уравнениям. Эти три случая охватывают все варианты взаимного расположения графиков системы.

Сначала удобно выразить y через x в каждом уравнении, чтобы сразу получить формулы для построения прямых. Затем выбирают по два значения x, вычисляют соответствующие y и отмечают две точки каждой прямой. Двух различных точек достаточно, чтобы провести прямую через них; если точки выбраны аккуратно, построение будет точнее. После этого находят общие точки и записывают их координаты в порядке (x; y).

На чертеже координаты часто удаётся определить только приблизительно: толщина линии и масштаб сетки ограничивают точность. Поэтому пара, считанная с графика, может немного отличаться от точного ответа. Подстановка найденных x и y в оба уравнения показывает, действительно ли пара удовлетворяет системе. Если равенство не выполняется, стоит проверить вычисления и построение.

Взаимное расположение графиков и число решений системы

Сначала определи, как расположены прямые, затем посчитай их общие точки. Число общих точек графиков и есть число решений системы. Если линии на рисунке расположены близко, проверь вывод преобразованием уравнений или подстановкой.

Разбор задач

Задача 1

Решить графически систему y = x + 1, y = −x + 3. Нужно построить обе прямые и найти координаты их общей точки. Для построения выберем значения x, при которых y получается целым числом. Затем проверим найденную пару подстановкой.

1. Для прямой y = x + 1 возьмём x = 0 и x = 2. Получим точки (0; 1) и (2; 3), по ним проводим первую прямую.
2. Для прямой y = −x + 3 возьмём x = 0 и x = 2. Получим точки (0; 3) и (2; 1), по ним проводим вторую прямую. На чертеже прямые пересекаются в точке (1; 2).
3. Проверим пару: во-первых, 2 = 1 + 1; во-вторых, 2 = −1 + 3. Оба равенства верны, значит, координаты точки подходят системе.

Ответ: (1; 2).

Задача 2

Решить графически систему 2x + y = 4, x − y = −1. Перед построением выразим y через x в каждом уравнении, чтобы получить привычный вид прямой. Точки выберем так, чтобы их координаты было удобно отметить на сетке. После нахождения пересечения обязательно проверим пару в исходных уравнениях.

1. Из первого уравнения получаем y = 4 − 2x, а из второго — y = x + 1. Для первой прямой подойдут точки (0; 4) и (2; 0), для второй — (0; 1) и (2; 3).
2. Строим две прямые по выбранным точкам. Они пересекаются в точке (1; 2), поэтому предполагаем, что решением является пара x = 1, y = 2.
3. Подставим пару в исходную систему: 2 · 1 + 2 = 4, а 1 − 2 = −1. Оба равенства верны, следовательно, найденная точка действительно общая для графиков.

Ответ: (1; 2).

Задача 3

Определить число решений системы y = 2x + 1, 2y = 4x + 2, не выполняя подробное построение. В этом случае достаточно привести оба уравнения к виду y = kx + b и сравнить получившиеся формулы. Если они одинаковы, то задают одну и ту же прямую. Тогда любая её точка подходит обоим уравнениям.

1. Первое уравнение уже записано в нужном виде: y = 2x + 1.
2. Во втором уравнении разделим обе части на 2: получим y = 2x + 1. Это в точности та же формула, что и в первом уравнении.
3. Графики совпадают, поэтому каждая точка этой прямой является общей. Таких точек бесконечно много, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

Типичные ошибки

Первая ошибка — принять за решение любую точку одного из графиков. Она может удовлетворять только одному уравнению, поэтому не подойдёт системе; так ошибаются, когда забывают об одновременном выполнении условий. Проверь, что точка лежит на обеих прямых, или подставь её координаты в оба уравнения. Верным решением будет только пара, прошедшая обе проверки.

Вторая ошибка — записать координаты точки пересечения в обратном порядке, например (y; x) вместо (x; y). Обычно это происходит потому, что на чертеже сначала замечают вертикальное положение точки, а потом горизонтальное. Сначала считывай координату по оси x, затем по оси y. Подстановка в уравнения также выявит перепутанные значения.

Третья ошибка — строить прямую по одной точке или неточно отмечать точки. Через одну точку можно провести множество прямых, а ошибка в положении двух точек изменит наклон и место пересечения. Для каждой прямой найди как минимум две различные пары значений, проверь их вычислением и аккуратно отметь на сетке. Полезно дополнительно проверить, что выбранные точки удовлетворяют исходному уравнению.

Четвёртая ошибка — считать, что решений нет, если на рисунке пересечение не видно. Прямые могут быть почти параллельны, а неточное построение скрывает их далёкую точку пересечения. Сравни коэффициенты после приведения уравнений к виду y = kx + b и не опирайся только на рисунок. Если наклоны одинаковы, выясни, совпадают ли прямые или являются разными параллельными прямыми.

Связь с другими темами

Для графического решения нужны знания о координатной плоскости, уравнении прямой и построении прямой по точкам. Сначала ученик преобразует линейное уравнение к виду y = kx + b, а затем подставляет значения переменных в исходные уравнения для проверки. Эти действия связывают графическое представление с алгебраическими вычислениями. Позднее системы решают и другими способами, а графики помогают понять смысл ответа и проверить его.

Что запомнить

• График линейного уравнения с двумя неизвестными — прямая.
• Решение системы — общая точка графиков её уравнений.
• Пересечение прямых в одной точке означает одно решение.
• Совпадение прямых означает бесконечно много решений.
• Параллельные прямые не имеют общих точек, поэтому система не имеет решений.
• После графического решения полезно проверить координаты подстановкой в оба уравнения.