"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными задаёт две прямые на координатной плоскости. Решить её графически — значит найти общие точки этих прямых: пересекаются они в одной точке, не имеют общих точек или совпадают. По расположению прямых можно определить, сколько решений имеет система, а для точного ответа координаты точки пересечения полезно проверить подстановкой в оба уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными — два уравнения, рассматриваемые одновременно относительно одной пары неизвестных. Например, оба уравнения системы относятся к одним и тем же x и y, а не к разным наборам чисел. Такая запись помогает искать числа, которые подходят сразу для двух условий. Каждое уравнение по отдельности может допускать много пар, но система отбирает только подходящие обоим условиям.
График уравнения с двумя неизвестными — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Например, если при x = 1 уравнение выполняется только при y = 3, то точка (1; 3) лежит на графике. Для уравнения первой степени график обычно является прямой. По нему удобно видеть, какие пары чисел подходят уравнению.
Решение системы — пара чисел, удовлетворяющая каждому уравнению системы. Важно, что проверять нужно оба уравнения, а не только одно из них. Пару обычно записывают как (x; y), то есть сначала указывают значение x, затем значение y. Такое обозначение позволяет связать ответ с координатами точки на плоскости.
Графическое решение системы — нахождение координат общих точек графиков её уравнений. Общей называют точку, которая лежит на каждом из графиков одновременно. Если графики пересекаются, совпадают или не имеют общих точек, это сразу показывает число решений. Поэтому графический способ помогает не только найти решение, но и исследовать систему.
Уравнение первой степени с двумя неизвестными можно записать как ax + by = c, где a и b не равны нулю одновременно. Если b ≠ 0, перенесём ax в правую часть и разделим обе части на b: получим y = −(a/b)x + c/b. Это вид y = kx + b₀, где k и b₀ — постоянные числа. При изменении x значение y меняется по прямой закономерности, поэтому все подходящие пары чисел располагаются на прямой; если же коэффициент при y равен нулю, получается вертикальная прямая.
Точка принадлежит графику уравнения именно тогда, когда её координаты удовлетворяют этому уравнению. Чтобы проверить точку, подставь её первую координату вместо x, а вторую вместо y и проверь равенство. Если равенство верно, точка отмечается на графике; если неверно — не отмечается. Значит, график собирает все и только те точки, которые подходят уравнению.
Система требует, чтобы одна и та же пара чисел удовлетворяла двум уравнениям. Поэтому точка решения должна принадлежать сразу двум графикам, а это и есть общая точка. И наоборот: в общей точке координаты подходят обоим уравнениям, потому что она лежит на каждом графике. Так соответствие между решениями системы и общими точками графиков следует из самого смысла графика.
Две непараллельные прямые пересекаются в одной точке, поэтому система имеет одно решение. Параллельные разные прямые не имеют общих точек, и система не имеет решений; совпадающие прямые состоят из одних и тех же точек, поэтому решений бесконечно много. Для прямых y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ сравнивают наклоны и свободные члены: разные k означают пересечение, одинаковые k при разных b — параллельность, одинаковые k и b — совпадение. В графическом исследовании это позволяет установить число решений, даже если координаты точки пересечения не удаётся точно прочитать.
Вертикальная прямая x = a не выражается формулой y = kx + b, потому что на ней одно и то же x сочетается с разными y. Её можно построить вертикальной линией через число a на оси x; две разные вертикальные прямые не пересекаются, а совпадающие дают бесконечно много общих точек. Если одна прямая вертикальная, а другая не вертикальная, они пересекаются в одной точке. Масштаб и аккуратность важны: слишком мелкая сетка затрудняет построение, а неточная линия может создать ложное впечатление пересечения или совпадения.
На графике показан пример системы, у которой прямые пересекаются в точке (1; 3). Её координаты можно проверить: при x = 1 оба уравнения дают y = 3, поэтому эта точка является решением системы.
| Взаимное положение прямых | Условие для угловых коэффициентов и свободных членов | Число решений | Вид системы |
|---|---|---|---|
| Прямые пересекаются в одной точке | k₁ ≠ k₂ | Одно | Совместная и определённая |
| Прямые параллельны и различны | k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ | Ни одного | Несовместная |
| Прямые совпадают | k₁ = k₂, b₁ = b₂ | Бесконечно много | Совместная и неопределённая |
| Одна или обе прямые вертикальные | Уравнение вертикальной прямой имеет вид x = a; случаи сравнивают отдельно | Зависит от положения прямых | Определяют по общим точкам |
Сначала приведи уравнения не вертикальных прямых к виду y = kx + b и сравни k и b. Если обнаружилась вертикальная прямая, учитывай её уравнение x = a отдельно: она либо пересекает другую прямую, либо не имеет с ней общих точек. Таблица помогает определить число решений, даже когда график построен не очень точно.
Нужно построить обе прямые и найти координаты их пересечения. Для каждой прямой достаточно выбрать две удобные точки, подставляя значения x в уравнение. Затем следует проверить, что считанная пара подходит обоим уравнениям.
Для y = x + 1 возьмём x = 0 и x = 2. Получим точки (0; 1) и (2; 3); проведём через них первую прямую.
Для y = −2x + 4 возьмём x = 0 и x = 2. Получим точки (0; 4) и (2; 0); проведём через них вторую прямую.
На чертеже прямые пересекаются в точке (1; 2). Проверим: при x = 1 первое уравнение даёт y = 2, а второе — y = 2, поэтому обе координаты подходят.
Ответ: (1; 2).
Чтобы понять, сколько решений у системы, сравним прямые без построения точек. Для этого выразим y в каждом уравнении и сравним угловые коэффициенты и свободные члены. Если наклоны одинаковы, но свободные члены различны, прямые параллельны и не пересекаются.
Из первого уравнения получаем −y = 3 − 2x, значит, y = 2x − 3. Здесь угловой коэффициент равен 2, а свободный член равен −3.
Из второго уравнения получаем −2y = 10 − 4x. Делим обе части на −2 и получаем y = 2x − 5; угловой коэффициент также равен 2, но свободный член равен −5.
Наклоны одинаковы, а свободные члены различны. Значит, прямые параллельны и различны, поэтому общей точки у них нет.
Ответ: решений нет.
Здесь коэффициенты второго уравнения могут указывать на то, что оно повторяет первое, умноженное на число. Если так, оба уравнения задают одну прямую, и каждая её точка будет решением системы. Проверим это преобразованием.
Первое уравнение приводим к виду y = kx + b: 2y = 6 − 3x, поэтому y = −3/2x + 3.
Во втором уравнении все коэффициенты в левой и правой частях вдвое больше соответствующих коэффициентов первого: 6x + 4y = 12. Разделим обе части на 2 и получим 3x + 2y = 6.
После преобразования уравнения совпали, значит, графики задают одну и ту же прямую. Каждая точка этой прямой удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому решений бесконечно много.
Ответ: бесконечно много решений — все точки прямой 3x + 2y = 6.
Ученик может назвать решением любую точку одной из прямых, забыв, что система содержит два уравнения. Так происходит, если смотреть на графики по очереди и не проверять, принадлежит ли точка обоим. Проверь пару подстановкой в каждое уравнение: оба равенства должны быть верны. На графике решение должно находиться именно в общей точке.
При преобразовании уравнения легко потерять знак или разделить на коэффициент только один член. Например, при переходе от −y = 3 − 2x нужно разделить на −1 каждое слагаемое правой части, иначе получится неверная прямая. Выполняй одинаковые действия с обеими частями равенства и со всеми членами. В конце подставь выражение для y в исходное уравнение, чтобы проверить преобразование.
Параллельные прямые иногда принимают за совпадающие, если рисунок сделан неточно или масштаб слишком мелкий. Тогда кажется, что линии идут одна поверх другой, хотя у них разные свободные члены. Сравни уравнения: одинаковый наклон при разных свободных членах означает две разные параллельные прямые. Для проверки можно построить их пересечения с осью y.
Координаты точки пересечения можно записать в неправильном порядке или округлить слишком рано. Первая координата пары — x, вторая — y, поэтому запись (x; y) читают именно так. Сначала считай обе координаты по делениям выбранного масштаба, затем подставь полученные значения в оба уравнения. Если подстановка не подтверждает ответ, уточни построение или запись координат.
Для графического решения понадобятся координатная плоскость, умение строить прямую по двум точкам, преобразовывать линейное уравнение и читать координаты. Если эти действия пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить их отдельно: они составляют основу построения графиков. Дальше способ пригодится при исследовании систем с параметрами и решении прикладных задач. Его также сравнивают с методами подстановки и сложения, которые позволяют находить решения точнее, чем считывание с чертежа.
Почему общая точка двух прямых является решением системы?
Координаты точки на графике каждого уравнения удовлетворяют этому уравнению. Если точка лежит сразу на двух графиках, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям, а значит, являются решением системы.
Что делать, если графики не пересекаются на видимой части чертежа?
Не спеши заключать, что пересечения нет: оно может находиться за пределами выбранного окна. Сравни уравнения после приведения к виду y = kx + b: при одинаковых k и разных b прямые параллельны, а значит, общих точек нет.
Как отличить совпадающие прямые от почти совпадающих?
Сравни уравнения, а не только чертёж: совпадающие прямые задаются пропорциональными коэффициентами при x, y и свободными членами. Если коэффициенты наклонов одинаковы, но свободные члены различаются, прямые параллельны и не совпадают.
Можно ли решить графически систему с вертикальной прямой?
Да. Вертикальная прямая задаётся уравнением x = a, и её можно построить, отметив на оси x число a и проведя через него вертикальную линию. Общие точки этой прямой с другим графиком и будут решениями системы.
Почему координаты точки пересечения иногда нужно проверять подстановкой?
По чертежу координаты часто удаётся определить лишь приблизительно, особенно если масштаб неудобен. Подстановка показывает, удовлетворяют ли записанные числа обоим уравнениям и не допущена ли ошибка при чтении координат.
10.2*. Графический способ исследования системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
