5.1. Понятие рационального уравнения

Определения и обозначения

Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий. В нём могут быть дроби и деление на выражение с переменной, например 1/x или 3/(x − 2). Такое определение помогает увидеть, какие значения переменной допустимы.

Рациональное уравнение — уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями. Примеры: 3x − 7 = 2 и 1/(x − 1) = 2. Значит, переменная в знаменателе может быть, но её наличие не является обязательным.

ОДЗ уравнения — область допустимых значений, то есть значения переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. В частности, знаменатель дроби нельзя приравнивать к нулю. ОДЗ нужно знать до преобразований, чтобы не получить запрещённый ответ.

Корень рационального уравнения — значение переменной из ОДЗ, при подстановке которого уравнение становится верным равенством. Одного решения преобразованного уравнения недостаточно, если оно нарушает ограничение исходной записи. Поэтому найденный корень всегда сопоставляют с ОДЗ.

Как это устроено

Рациональное уравнение может содержать переменную в знаменателе: например, 1/x = 2 или 2/(x − 1) = 1. При некоторых значениях переменной такая дробь не существует, потому что деление на нуль невозможно. Поэтому внешний вид уравнения сразу подсказывает: если переменная стоит в знаменателе, проверка допустимых значений обязательна.

Чтобы найти ОДЗ, сначала выписывают все знаменатели исходного уравнения. Каждый знаменатель приравнивают к нулю и найденные значения исключают из области допустимых значений. Например, для 1/(x − 1) = 2/(x + 1) получаем x − 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ 1 и x ≠ −1.

После записи ОДЗ можно избавиться от дробей: обе части уравнения умножают на общий знаменатель. Он содержит каждый различный знаменатель исходной записи, поэтому дроби сокращаются, и получается уравнение без дробей. Такой переход удобен, потому что с целыми выражениями обычно работать проще.

Умножение на общий знаменатель корректно только при значениях из ОДЗ: там этот множитель не равен нулю. Если умножить без предварительных ограничений, можно рассматривать значение, при котором исходное уравнение не определено. Поэтому преобразования сохраняют равносильность именно на ОДЗ, а запрещённые значения корнями быть не могут.

Уравнения с дробями и без переменной в знаменателе одинаково относятся к рациональным, если их части являются рациональными выражениями. Так, x + 2 = 5 и 1/(x − 2) = 1 — оба рациональные уравнения, но только второе имеет ограничение x ≠ 2. Определяющим является не внешний вид записи, а способ составления её выражений.

Примеры рациональных уравнений и ограничения на переменную

Сначала найдите в каждой строке знаменатели, содержащие переменную. Затем значения, обнуляющие хотя бы один такой знаменатель, запишите как ограничения. Если переменных в знаменателях нет, ограничений от дробей не возникает.

Таблица помогает отделить вид уравнения от его ОДЗ. Ограничения относятся к исходной записи и сохраняются при дальнейшем решении.

Разбор задач

Задача 1. Распознавание рационального уравнения

Условие: определить, является ли уравнение 3x − 7 = 2 рациональным, и указать его ОДЗ. В записи есть число, переменная, умножение, вычитание и равенство. Нужно проверить, нет ли действия деления на выражение с переменной.

1. Выражения 3x − 7 и 2 составлены из чисел и переменной с помощью арифметических действий, поэтому они рациональные.
2. Переменная не находится в знаменателе, и вообще знаменателей в уравнении нет.
3. Следовательно, ограничений, связанных с делением на нуль, не возникает: допустимы все действительные значения x.

Ответ: уравнение рациональное; ОДЗ: x ∈ R.

Задача 2. Уравнение 1/x = 2

Условие: решить уравнение 1/x = 2. Сначала нужно определить, при каких x оно имеет смысл, и только потом устранять знаменатель. Это защищает решение от недопустимых значений.

1. Знаменатель равен x, поэтому записываем ОДЗ: x ≠ 0.
2. На ОДЗ умножаем обе части на x: 1 = 2x.
3. Делим обе части на 2 и получаем x = ½.
4. Число ½ не равно нулю, значит, оно допустимо. Подстановка даёт 1/(½) = 2.

Ответ: x = ½.

Задача 3. Общий знаменатель

Условие: решить уравнение 1/(x − 1) = 2/(x + 1). Здесь оба знаменателя зависят от переменной, поэтому ОДЗ нужно составить до умножения. После этого можно убрать дроби общим знаменателем.

1. Из условий x − 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0 получаем ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −1.
2. Умножаем обе части на (x − 1)(x + 1), ненулевой на ОДЗ: x + 1 = 2(x − 1).
3. Раскрываем скобки: x + 1 = 2x − 2, откуда x = 3.
4. Значение 3 не нарушает ОДЗ. Проверка: 1/2 = 2/4, то есть ½ = ½.

Ответ: x = 3.

Типичные ошибки

Не записывают ОДЗ до преобразований. Из-за этого запрещённое значение может попасть в список ответов. Проверяйте каждое найденное число по знаменателям исходного уравнения.

Приравнивают знаменатель к нулю. Такое равенство нужно использовать только для поиска запрещённого значения, а не для включения его в ОДЗ. После вычисления пишите обратное условие: знаменатель не равен нулю.

Умножают на общий знаменатель без ограничений. Если он равен нулю, такое умножение нельзя считать допустимым преобразованием исходного уравнения. Сначала выпишите все множители общего знаменателя и исключите их нулевые значения.

Считают любой результат нового уравнения корнем исходного. После избавления от дробей могли появиться значения, которых не было в области определения. Сверьте ответ с ОДЗ и при необходимости подставьте его в исходное уравнение.

Связь с другими темами

До изучения рациональных уравнений нужно уметь работать с рациональными выражениями и дробями. Полезно знать, что дробь не определена при нулевом знаменателе, и уметь выполнять сокращение и приведение дробей к общему знаменателю.

Эти знания понадобятся при решении рациональных уравнений и систем уравнений. Многие текстовые задачи также сводятся к уравнениям с дробями, поэтому умение находить ОДЗ помогает отсеивать недопустимые ответы.

Что запомнить

• Рациональное уравнение составлено из рациональных выражений.
• Знаменатель дроби не может быть равен нулю.
• ОДЗ находят по всем знаменателям исходного уравнения.
• Перед избавлением от знаменателей запишите ограничения на переменную.
• Корнем является только допустимое значение, обращающее уравнение в верное равенство.
• Найденные значения нужно сверять с ОДЗ исходного уравнения.