"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Биквадратное уравнение содержит четвёртую и вторую степени неизвестной: ax⁴ + bx² + c = 0. Его удобно решать заменой t = x²: тогда получается знакомое квадратное уравнение. Но найденные значения t нужно проверить: квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Положительное t даёт два корня x, нулевое — один, а отрицательное не даёт действительных корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биквадратное уравнение — уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a ≠ 0. Здесь a, b и c — числа, а x — неизвестное; коэффициенты b и c могут быть равны нулю. В уравнении есть четвёртая и вторая степени x, но нет нечётных степеней. Такой характерный вид позволяет применить особый приём решения.
Замена переменной — это введение новой буквы вместо выражения с неизвестной, чтобы упростить уравнение. Для биквадратного уравнения берут t = x², поэтому x⁴ заменяется на t², а x² — на t. После этого исходное уравнение становится квадратным относительно t. Замена нужна, чтобы использовать знакомые способы решения квадратных уравнений.
Обратная замена — возвращение от значений новой переменной t к значениям исходной неизвестной x. После решения уравнения относительно t для каждого допустимого значения решают x² = t. Этот шаг необходим, потому что ответом задачи должны быть значения x, а не t. При обратной замене учитывают, что квадрат действительного числа неотрицателен.
В биквадратном уравнении степени x⁴ и x² связаны: четвёртая степень равна квадрату выражения x². Поэтому удобно обозначить x² новой буквой t. Тогда x⁴ = (x²)² = t², и каждое слагаемое уравнения меняет вид: ax⁴ превращается в at², bx² — в bt, а число c остаётся прежним. Получается квадратное уравнение at² + bt + c = 0, которое можно решить обычными способами.
Найденные корни квадратного уравнения сначала относятся к переменной t, а не к x. Чтобы понять, какие из них подходят, вспоминают смысл замены: t = x². Квадрат действительного числа равен нулю или положителен, потому что при умножении числа на само себя результат не может быть отрицательным. Значит, отрицательный корень уравнения относительно t не может соответствовать никакому действительному x.
Если найдено положительное значение t, нужно решить уравнение x² = t. Числа √t и −√t различаются знаком, но при возведении в квадрат оба дают t. Поэтому каждому положительному значению t соответствуют два корня исходного уравнения: x = √t и x = −√t. Записывая оба, мы учитываем, что квадрат не различает число и противоположное ему.
При t = 0 уравнение x² = 0 выполняется только при x = 0. Хотя можно формально записать x = ±√0, оба выражения равны нулю, так что это один корень, а не два различных. Если же t < 0, квадрат действительного числа не может равняться t, поэтому действительных корней x нет. Эти три случая помогают правильно перейти от корней по t к ответу.
В конце полезно подставить каждый полученный x в исходное уравнение, а не только в уравнение для t. При подстановке вычисляют x² и x⁴ и проверяют, обращается ли левая часть ax⁴ + bx² + c в ноль. Такая проверка обнаруживает потерянный знак, ошибку в вычислениях или неверную обратную замену. Если корень не проходит проверку, его нельзя включать в ответ.
| Значение корня t квадратного уравнения | Условие для x² = t | Корни исходного уравнения |
|---|---|---|
| t < 0 | Квадрат действительного x не может быть отрицательным | Действительных корней нет |
| t = 0 | x² = 0 | x = 0 |
| t > 0 | Квадрат равен положительному числу | x = √t и x = −√t |
Сначала решите уравнение относительно t, а затем для каждого его корня выберите подходящую строку таблицы. Если корней t несколько, проверяйте каждый отдельно. В ответ включайте только найденные таким способом значения x.
После замены t = x² иногда оставляют отрицательный корень уравнения относительно t. Так происходит, если забыть, что t обозначает квадрат действительного числа, а не произвольное число. Перед обратной заменой проверьте знак каждого значения t. Отрицательное значение отбросьте: уравнение x² = t при нём не имеет действительных решений.
Для положительного t некоторые записывают только x = √t и теряют корень с противоположным знаком. Причина в том, что квадратный корень √t обозначает неотрицательное число, но уравнение x² = t имеет два решения. Чтобы проверить себя, возведите оба числа, √t и −√t, в квадрат. В ответ при t > 0 включайте оба значения.
При t = 0 иногда указывают два корня: x = √0 и x = −√0. Ошибка возникает из-за механического применения знака ± без проверки полученных чисел. Но оба выражения равны нулю и обозначают одно число. Запишите x = 0 один раз и проверьте, что других решений уравнение x² = 0 не имеет.
Ещё одна ошибка — решить квадратное уравнение относительно t и на этом остановиться. Тогда вместо корней исходного уравнения остаются значения вспомогательной переменной. После решения обязательно выполните обратную замену для каждого неотрицательного t. Затем проверьте полученные x подстановкой в исходное уравнение, чтобы убедиться, что ответ относится именно к нему.
Для решения биквадратного уравнения нужны навыки работы с квадратными уравнениями: разложение на множители или применение формулы корней. Эти способы используют после замены t = x². Поэтому важно уметь находить дискриминант и аккуратно выполнять вычисления.
Обратный переход опирается на свойства квадратного корня. Квадрат действительного числа неотрицателен, а при t > 0 уравнение x² = t имеет два решения: ±√t. При t = 0 решение одно, при t < 0 действительных решений нет. Без этого правила легко получить лишний корень или потерять нужный.
Замена переменной полезна не только для биквадратных уравнений. Её применяют в других уравнениях, когда повторяющееся выражение можно обозначить новой буквой и получить более знакомый вид. Главное — помнить, зачем введена переменная, и после решения вернуться к исходной неизвестной.
Почему биквадратное уравнение можно решить заменой t = x²?
При такой замене x⁴ становится t², а x² — t. Поэтому уравнение ax⁴ + bx² + c = 0 превращается в квадратное уравнение at² + bt + c = 0, которое мы умеем решать.
Что делать, если среди корней уравнения относительно t есть отрицательное число?
Отрицательное значение t нужно отбросить. Ведь t = x², а квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому уравнение x² = t при t < 0 не имеет действительных решений.
Почему положительному значению t соответствуют два корня x?
Если t > 0, то числа √t и −√t имеют одинаковый квадрат t. Поэтому уравнение x² = t имеет два корня: x = √t и x = −√t.
Сколько корней исходного уравнения получается при t = 0?
Получается один корень: x = 0. Записи √0 и −√0 обозначают одно и то же число, поэтому считать их двумя корнями нельзя.
Нужно ли проверять найденные корни в исходном уравнении?
Да, подстановка помогает убедиться, что обратная замена выполнена верно. Подставьте каждое найденное x в исходное уравнение и проверьте, что левая часть равна нулю.
5.2. Биквадратное уравнение
