5.3. Распадающееся уравнение

Определения и обозначения

Распадающееся уравнение — уравнение, которое после преобразований сводится к произведению нескольких выражений, равному нулю. Например, x² − 5x = 0 можно переписать как x(x − 5) = 0. Такой вид удобен тем, что вместо одного уравнения можно решить несколько более простых.

Нулевое произведение — произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю. Например, если A · B = 0, то A = 0 или B = 0, причём оба множителя тоже могут быть равны нулю. Это свойство и позволяет переходить от произведения к отдельным уравнениям.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Если подставить корень вместо переменной, левая и правая части должны стать равными. Понятие корня нужно, чтобы точно определить, какие значения включить в ответ и проверить после решения.

Как это устроено

Чтобы получить произведение, равное нулю, сначала преобразуют уравнение. Если слагаемые стоят по разные стороны знака равенства, их переносят в одну часть, меняя знаки, и получают выражение, равное нулю. Затем это выражение раскладывают на множители: например, выносят общий множитель за скобки или применяют известную формулу. Равносильные преобразования сохраняют те значения переменной, которые являются корнями, поэтому важно аккуратно выполнять каждый шаг.

Правило нулевого произведения связано с тем, что произведение двух ненулевых чисел не может быть нулём. Если один множитель равен нулю, при умножении на любой другой результат будет нулём. Обратно, если произведение равно нулю, ни один из множителей не может оставаться ненулевым одновременно со всеми остальными. Поэтому в равенстве A(x) · B(x) = 0 достаточно, чтобы A(x) = 0 или B(x) = 0.

Когда уравнение уже записано произведением, каждый множитель по очереди приравнивают к нулю. Получаются отдельные уравнения, которые обычно проще исходного: например, линейные уравнения вида x − 3 = 0. Нельзя выбрать только один множитель, потому что другой тоже может обратиться в ноль при ином значении переменной. Все уравнения-множители нужно решить, даже если одно из них кажется менее очевидным.

Корнями исходного уравнения становятся все значения, найденные хотя бы в одном уравнении-множителе. Это объединение решений: если одно и то же число встретилось дважды, в ответе его записывают один раз. Причина в том, что каждое такое значение обнуляет свой множитель, а значит, всё произведение. И наоборот, любой корень исходного уравнения с нулевым произведением должен обнулить хотя бы один множитель.

После решения полезно подставить найденные значения в исходное уравнение, то есть в запись до преобразований. Равенство должно выполняться точно, а не приблизительно. Проверка особенно нужна, если при преобразованиях делили на выражение с переменной или могли ошибиться со знаком: деление на выражение, способное стать нулём, может привести к потере или появлению решений. Значение, не удовлетворяющее исходному уравнению, в ответ включать нельзя.

Как решать распадающееся уравнение

Таблица показывает общий порядок работы: сперва получают произведение, а затем решают уравнения для его множителей. Двигайтесь по этапам сверху вниз, не пропуская шаги. В конце объедините все найденные значения и проверьте их в исходной записи.

Разбор задач

Решим уравнение (x − 3)(x + 2) = 0. Оно уже записано в виде произведения, поэтому можно сразу применить правило нулевого произведения. Каждый из двух множителей может обратиться в ноль, и нужно рассмотреть оба случая.

1. Приравниваем первый множитель к нулю: x − 3 = 0, откуда x = 3.

2. Приравниваем второй множитель к нулю: x + 2 = 0, откуда x = −2.

3. Проверяем: при x = 3 первый множитель равен нулю, а при x = −2 нулю равен второй. В обоих случаях произведение равно нулю.

Ответ: x = 3; x = −2. Оба значения подходят, потому что каждое обнуляет один из множителей исходного произведения.

Решим уравнение x² − 5x = 0. Здесь произведение пока не выделено, зато оба слагаемых содержат общий множитель x. Вынесем его за скобки, а затем применим правило нулевого произведения.

1. Выносим общий множитель: x² − 5x = x(x − 5), поэтому получаем x(x − 5) = 0.

2. Приравниваем множители к нулю: x = 0 или x − 5 = 0. Из второго уравнения находим x = 5.

3. Проверяем исходное уравнение: при x = 0 получаем 0² − 5 · 0 = 0; при x = 5 получаем 25 − 25 = 0.

Ответ: x = 0; x = 5. Корень 0 легко потерять, если вынести x за скобки, а затем разделить обе части на x: делить на выражение, которое может быть нулём, нельзя без отдельного рассмотрения этого случая.

Решим уравнение x² − 4 = 3x − 6. Сначала соберём все слагаемые в левой части, чтобы справа получился ноль. Затем разложим полученный трёхчлен на множители и рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1. Переносим слагаемые: x² − 4 − 3x + 6 = 0, то есть x² − 3x + 2 = 0.

2. Разлагаем трёхчлен: x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Получаем (x − 1)(x − 2) = 0.

3. Решаем уравнения-множители: x − 1 = 0 даёт x = 1, а x − 2 = 0 даёт x = 2.

4. Проверяем в исходном уравнении: при x = 1 обе части равны −3, а при x = 2 обе части равны −2.

Ответ: x = 1; x = 2. Проверка подтверждает, что при переносе слагаемых знаки были изменены верно и оба найденных значения подходят.

Типичные ошибки

Приравнивают к нулю только один множитель. Так теряют корни, которые обнуляют другой множитель; ошибка возникает, когда второй случай считают лишним или забывают его записать. Проверьте себя: выпишите уравнение для каждого множителя и отметьте, что все они решены.

Принимают множитель, близкий к нулю, за нулевой. Приближённое значение не даёт точного нулевого произведения, хотя округление может создать такое впечатление. Подставьте значение без преждевременного округления и проверьте равенство; для корня требуется точное выполнение условия.

Неверно раскладывают выражение или теряют знак при переносе. Такое случается из-за спешки: например, при переносе слагаемое меняет знак, а при раскрытии скобок его можно забыть. Раскройте полученные скобки и сравните результат с исходным выражением, а перенесённые слагаемые проверьте подстановкой простого значения.

Не проверяют преобразования и включают посторонние корни. Если преобразование выполнено с ограничением или допущена вычислительная ошибка, найденное значение может не подходить исходному уравнению. Подставьте каждый ответ в первоначальную запись и оставьте только те значения, при которых обе части действительно равны.

Связь с другими темами

Для решения распадающихся уравнений нужны навыки преобразования выражений: умение выносить общий множитель и раскладывать многочлены на множители помогает получить нужную форму. Само решение опирается на линейные уравнения и свойство произведения, равного нулю. Этот приём пригодится и в дальнейшем, когда квадратные или другие уравнения удаётся представить произведением выражений.

Что запомнить

• Распадающееся уравнение приводят к виду, где произведение множителей равно нулю.
• Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
• Каждый множитель нужно приравнять к нулю.
• Решения отдельных уравнений объединяют.
• Перед применением правила сначала нужно получить произведение, равное нулю.
• Найденные корни полезно проверить в исходном уравнении.