5.4. Уравнение, одна часть которого алгебраическая дробь, а другая — нуль

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Например, (2x − 5)/(x + 1) — алгебраическая дробь. Её значение существует только тогда, когда знаменатель не равен нулю, поэтому это условие учитывают при решении.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменной, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль. Для дроби (2x − 5)/(x + 1) нельзя брать x = −1, значит, ОДЗ задаётся условием x ≠ −1. ОДЗ помогает отделить возможные корни от значений, при которых выражение вообще не определено.

Нулевая дробь — алгебраическая дробь, значение которой равно нулю. Это происходит, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Например, 0/5 = 0, но 5/0 не является дробью с числовым значением. Такое правило превращает уравнение с дробью в более простое уравнение для числителя.

Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение верно. В дробном уравнении недостаточно получить верное равенство для числителя: найденное значение должно также принадлежать ОДЗ. Поэтому в ответ включают только допустимые значения, при которых исходная дробь определена и равна нулю.

Как это устроено

Чтобы найти ОДЗ дроби, сначала рассматривают её знаменатель. Приравнивают его к нулю и решают полученное уравнение: найденные значения запрещены, потому что деление на нуль невозможно. Все остальные значения переменной допустимы, если других знаменателей в выражении нет. Например, у дроби (2x − 5)/(x + 1) условие x + 1 = 0 даёт x = −1, поэтому это значение исключают.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Если числитель не равен нулю, деление на допустимый знаменатель не даст ноль. Если же знаменатель равен нулю, дробь не определена, и говорить о её равенстве нулю нельзя. Значит, для дроби A(x)/B(x) уравнение A(x)/B(x) = 0 сводится к условиям A(x) = 0 и B(x) ≠ 0.

Из этого следует порядок решения: сначала определяют значения, запрещённые знаменателем, а затем решают уравнение числителя. Решение числителя само по себе ещё не является ответом, потому что оно могло попасть в список запрещённых значений. Такое разделение помогает не потерять ограничение, заданное исходной дробью. В конце оба условия — нулевой числитель и ненулевой знаменатель — должны выполняться одновременно.

Когда числитель разложен на множители, используют свойство произведения: произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю. Поэтому каждый множитель по очереди приравнивают к нулю и находят кандидатов в корни. Например, x² − 9 можно представить как (x − 3)(x + 3), а из этого разложения получить x = 3 и x = −3. Эти значения всё равно надо проверить по знаменателю.

Проверка состоит в том, чтобы сопоставить каждого кандидата с ОДЗ. Если кандидат обращает знаменатель в нуль, его отбрасывают; если знаменатель при нём не равен нулю, значение становится корнем исходного уравнения. При желании можно также подставить оставшийся корень в исходную дробь и убедиться, что она равна нулю. В ответ записывают только значения, прошедшие проверку.

Как решать уравнение, равное нулю

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала найди ОДЗ, затем реши уравнение числителя. После этого проверь каждый кандидат по знаменателю и запиши только те значения, которые не запрещены. Такой порядок не позволяет перепутать кандидатов с готовым ответом.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение (2x − 5)/(x + 1) = 0.

1. Знаменатель x + 1 не должен быть нулём. Из x + 1 = 0 получаем x = −1, поэтому это значение исключаем.
2. Приравниваем числитель к нулю: 2x − 5 = 0. Тогда 2x = 5 и x = 5/2.
3. Проверяем кандидата: 5/2 не равно −1, следовательно, знаменатель при нём не равен нулю. Ответ: x = 5/2.

Задача 2. Решите уравнение (x² − 9)/(x − 3) = 0.

1. Находим запрет по знаменателю: x − 3 = 0 даёт x = 3. Это значение не входит в ОДЗ.
2. Разлагаем числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Уравнение числителя (x − 3)(x + 3) = 0 даёт кандидатов x = 3 и x = −3.
3. Проверяем кандидатов по знаменателю. x = 3 запрещено, а при x = −3 знаменатель не равен нулю. Ответ: x = −3.

Задача 3. Решите уравнение (x² − 5x + 6)/(x² − 4) = 0.

1. Разлагаем знаменатель: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Он равен нулю при x = 2 и x = −2, поэтому эти значения исключаем.
2. Разлагаем числитель: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Из уравнения числителя получаем кандидатов x = 2 и x = 3.
3. Сверяем кандидатов с ОДЗ: x = 2 запрещено, так как обращает знаменатель в нуль; x = 3 допустимо. Ответ: x = 3.

Типичные ошибки

Некоторые приравнивают к нулю и числитель, и знаменатель. Так делать нельзя: при нулевом знаменателе дробь не определена, а не равна нулю. Ошибка возникает, если свойства числителя и знаменателя смешивают. Проверяй себя вопросом: при найденном значении можно ли вообще вычислить исходную дробь?

Другая ошибка — решить уравнение числителя и сразу записать все значения в ответ. Среди них может оказаться значение, запрещённое знаменателем, как x = 3 в дроби (x² − 9)/(x − 3). Такое происходит, когда решение промежуточного уравнения принимают за окончательное. Сверь каждый кандидат с ОДЗ, прежде чем записывать ответ.

При сокращении дроби иногда забывают ограничения исходного знаменателя. Например, после сокращения множителя x − 3 в дроби (x − 3)(x + 3)/(x − 3) значение x = 3 может перестать быть заметным, хотя в исходной дроби оно запрещено. Причина ошибки — потеря исходных условий при преобразовании. Записывай ОДЗ до сокращения и сохраняй эти ограничения до конца решения.

Можно также ошибиться при разложении числителя на множители или при решении полученных уравнений. Тогда кандидаты окажутся неверными, даже если ОДЗ найдена правильно. Проверяй разложение умножением множителей обратно и подстановкой найденных значений в числитель. Если результат не равен нулю, нужно исправить вычисления.

Связь с другими темами

Для решения таких уравнений пригодятся умения находить нули линейных и квадратных выражений, а также раскладывать многочлены на множители. Именно эти навыки помогают решить уравнение числителя и определить запрещённые значения по знаменателю. Если разложение на множители вызывает затруднение, стоит повторить соответствующие способы преобразования выражений.

Здесь используется простой случай дробно-рационального уравнения — уравнения, в котором есть дроби с переменной. Позже дробь может быть приравнена не к нулю, а к другому выражению или числу. Тогда понадобится учитывать ОДЗ и выполнять дополнительные преобразования, но проверка допустимости найденных значений останется необходимой.

Что запомнить

• Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
• Сначала находят область допустимых значений.
• Решения уравнения числителя — только кандидаты в корни исходного уравнения.
• Каждый кандидат проверяют по ограничениям на знаменатель.
• В ответ включают только допустимые корни.