5.5. Решение рациональных уравнений

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. В таких выражениях могут встречаться дроби с переменной в знаменателе, например 3/(x − 1). Именно знаменатели с переменной требуют особой осторожности: при их обращении в ноль выражение не определено.

ОДЗ рационального уравнения — область допустимых значений переменной, то есть все значения, при которых каждый знаменатель уравнения отличен от нуля. Например, для дроби 1/(x − 2) число 2 не входит в ОДЗ. ОДЗ помогает сразу исключить невозможные ответы.

Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одинаковые решения. При решении нужно выполнять такие преобразования, чтобы множество корней не изменялось, иначе можно потерять правильный корень или принять лишний. Умножение на выражение, которое на ОДЗ не равно нулю, сохраняет равносильность.

Посторонний корень — значение, полученное после преобразований, но не удовлетворяющее исходному уравнению. Чаще всего оно делает исходный знаменатель равным нулю. Поэтому найденные значения проверяют по ОДЗ, а при сомнении подставляют в исходное уравнение.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ: каждый знаменатель приравнивают к нулю и решают полученные уравнения. Найденные значения исключают, потому что исходные дроби в них не определены. Оставшиеся значения фиксируют перед дальнейшими преобразованиями, чтобы случайно не принять запрещённое число за корень.

Затем выбирают общий знаменатель и умножают на него обе части уравнения. Это допустимо именно на ОДЗ: общий знаменатель там не равен нулю, поэтому деление и умножение не меняют множество решений. Если умножить только отдельную дробь или забыть какой-либо член, равенство изменится.

После умножения дроби сокращаются, и рациональное уравнение обычно превращается в целое. Нужно аккуратно раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и перенести члены через знак равенства с изменением знака. Такой порядок уменьшает риск потерять корень или допустить ошибку в знаках.

Полученное целое уравнение решают известным способом: раскладывают на множители, выносят общий множитель или применяют формулу квадратного уравнения. Затем каждый найденный корень сравнивают с ОДЗ. Недопустимое значение сразу отбрасывают, а допустимое при необходимости проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Этапы решения рационального уравнения

Таблица показывает порядок действий от анализа знаменателей до записи ответа. Двигайтесь по строкам сверху вниз и не пропускайте проверку ОДЗ. Если на каком-то этапе появились сомнения, вернитесь к исходному уравнению и проверьте, ко всем ли его членам применено преобразование.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение 3/(x − 1) = 2.

1. Знаменатель не должен обращаться в ноль: x − 1 ≠ 0, значит, ОДЗ: x ≠ 1.
2. На ОДЗ умножаем обе части на x − 1: 3 = 2(x − 1).
3. Раскрываем скобки: 3 = 2x − 2, поэтому 2x = 5 и x = 5/2.
4. Число 5/2 не нарушает условие x ≠ 1, поэтому оно подходит.

Ответ: x = 5/2.

Задача 2. Решить уравнение 1/x + 1/(x − 2) = 1.

1. Из знаменателей получаем ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ 2. Общий знаменатель равен x(x − 2).
2. Умножаем все слагаемые на общий знаменатель: (x − 2) + x = x(x − 2).
3. Приводим к квадратному уравнению: 2x − 2 = x² − 2x, то есть x² − 4x + 2 = 0.
4. По формуле квадратного уравнения получаем x = 2 ± √2. Оба числа не равны 0 и 2, значит, входят в ОДЗ.

Ответ: x₁ = 2 − √2, x₂ = 2 + √2.

Задача 3. Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 3/(x² − 4).

1. Раскладываем x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Поэтому ОДЗ: x ≠ 2 и x ≠ −2.
2. Умножаем обе части на (x − 2)(x + 2): (x + 1)(x + 2) = 3.
3. Раскрываем скобки: x² + 3x + 2 = 3, откуда x² + 3x − 1 = 0.
4. Находим корни: x = (−3 ± √13)/2. Ни один из них не равен 2 или −2, поэтому оба допустимы.

Ответ: x₁ = (−3 − √13)/2, x₂ = (−3 + √13)/2.

Типичные ошибки

Не находят ОДЗ. Тогда в ответ может попасть значение, при котором исходный знаменатель равен нулю. Ошибку предупреждает запись всех ограничений до начала преобразований.

Умножают только часть уравнения. Например, общий знаменатель применяют к одной дроби, но не применяют к другому слагаемому. Проверяйте каждое слагаемое слева и справа: множитель должен быть распределён по всей части уравнения.

Сокращают без проверки. Сокращение на выражение, которое может быть равно нулю, способно изменить множество решений. Перед сокращением убедитесь, что это выражение не равно нулю на ОДЗ.

Считают все корни нового уравнения решениями исходного. Преобразованное уравнение может дать недопустимое значение. Сравните каждый корень с ОДЗ и при необходимости подставьте его в исходное равенство.

Связь с другими темами

Перед решением рациональных уравнений нужно уметь находить нули выражений и раскладывать многочлены на множители. Также понадобятся навыки решения линейных и квадратных уравнений, потому что именно к ним часто сводится задача после избавления от дробей.

Эти приёмы используются при решении дробно-рациональных уравнений и преобразовании рациональных выражений. Умение находить ОДЗ помогает правильно сокращать дроби и контролировать допустимость каждого шага.

Что запомнить

• ОДЗ находят до преобразования уравнения.
• Знаменатели исходного уравнения не должны обращаться в нуль.
• Умножать обе части на общий знаменатель можно на ОДЗ.
• После умножения на знаменатель уравнение обычно сводится к целому.
• Корни полученного уравнения проверяют по ОДЗ.
• В ответ включают только корни исходного уравнения.