5.6. Решение задач при помощи рациональных уравнений

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором обе части являются рациональными выражениями. Рациональные выражения составляют из чисел и переменных с помощью арифметических действий, в том числе деления. Такие уравнения нужны, чтобы записывать зависимости между величинами, а затем находить неизвестные значения.

Дробно-рациональное уравнение — рациональное уравнение, в котором переменная входит в знаменатели дробей. Например, в уравнении 1/x + 2 = 5 переменная x находится в знаменателе. Это название подсказывает, что перед решением надо выяснить, при каких значениях знаменатели не обращаются в ноль.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения переменной, при которых выражения уравнения определены. Для дробей это означает, что каждый знаменатель должен быть отличен от нуля. ОДЗ помогает сразу исключить значения, при которых запись уравнения теряет смысл.

Посторонний корень — значение, которое получилось при преобразованиях уравнения, но не удовлетворяет исходному уравнению. Такое может случиться, например, если при умножении на знаменатели не учесть ограничение ОДЗ. Проверка позволяет отличить настоящий корень от постороннего и не включить его в ответ.

Как это устроено

Сначала выбери неизвестную величину: чаще всего это то, что требуется найти, например скорость или время работы. Обозначь её буквой и укажи единицу измерения, чтобы не перепутать часы с километрами или производительность со временем. Остальные величины вырази через выбранную: если одна скорость на 4 км/ч больше другой, то при меньшей скорости x большая равна x + 4. Такой выбор превращает словесные сведения в удобные для вычислений записи.

Затем установи, какая связь между величинами дана в условии, и запиши её как равенство. В задаче на движение путь связан со скоростью и временем формулой s = vt, а при встречном движении пройденные расстояния складываются в расстояние между пунктами. В задаче о совместной работе складываются доли работы, выполненные за один час или день. Уравнение должно отражать именно эту связь, иначе даже верное решение уравнения не ответит на вопрос задачи.

Перед преобразованиями найди ОДЗ: выпиши знаменатели и исключи значения, при которых хотя бы один из них равен нулю. Затем упрости уравнение, например умножь обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей. После этого реши получившееся уравнение известными способами. ОДЗ сохраняет ограничения исходной записи, а упрощение делает вычисления удобнее.

Умножение на выражение, которое может быть нулём, требует осторожности: в исходном уравнении такое значение могло быть запрещено, а в преобразованном уравнении оно иногда появляется среди корней. Поэтому подставь каждый найденный корень в исходное уравнение: если знаменатель обращается в ноль или равенство неверно, корень посторонний. Оставшиеся значения проверь по условию задачи: время и расстояние не могут быть отрицательными, а скорости должны соответствовать заданному соотношению. В конце запиши ответ с нужными единицами.

Этапы решения задачи с помощью рационального уравнения

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, когда проверил предыдущий. Особенно внимательно проверь ОДЗ и смысл найденных значений. Так ты не перепутаешь вычислительный корень с ответом задачи.

Разбор задач

Велосипедисты

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 48 км. Скорость одного на 4 км/ч больше скорости другого, и они встретились через 2 часа. Найдём их скорости. Если скорость более медленного велосипедиста обозначить через x км/ч, скорость второго будет x + 4 км/ч.

1. За 2 часа велосипедисты проехали вместе 48 км, поэтому сумма их скоростей равна 48 : 2 = 24 км/ч.
2. Составим уравнение: x + (x + 4) = 24. Тогда 2x = 20 и x = 10.
3. Скорость второго равна 10 + 4 = 14 км/ч. Обе скорости положительны и в сумме дают 24 км/ч.

Ответ: 10 км/ч и 14 км/ч.

Насосы

Два насоса вместе наполняют бассейн за 6 часов. Первый насос один наполняет его на 5 часов быстрее второго. Пусть второй насос наполняет бассейн за x часов; тогда первому нужно x − 5 часов, причём x > 5. За один час насосы выполняют соответственно 1/x и 1/(x − 5) части работы.

1. Вместе они выполняют 1/6 бассейна в час, поэтому 1/x + 1/(x − 5) = 1/6. ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ 5; по смыслу также x > 5.
2. Умножим уравнение на 6x(x − 5): 6(x − 5) + 6x = x(x − 5). После упрощения получаем x² − 17x + 30 = 0.
3. Корни квадратного уравнения — 15 и 2. Значение 2 не подходит условию x > 5; при x = 15 время первого насоса равно 15 − 5 = 10 часам.

Проверка: 1/15 + 1/10 = 1/6. Ответ: первый насос — за 10 часов, второй — за 15 часов.

Мастера

Два мастера вместе выполняют заказ за 6 дней. Если бы первый работал один, он выполнил бы заказ на 5 дней быстрее второго. Обозначим через x число дней, нужных второму мастеру; первому потребуется x − 5 дней, поэтому x > 5. Производительности мастеров — 1/x и 1/(x − 5) заказа в день.

1. Вместе мастера выполняют 1/6 заказа в день. Получаем уравнение 1/x + 1/(x − 5) = 1/6; ОДЗ требует x ≠ 0 и x ≠ 5, а по смыслу x > 5.
2. Умножаем на 6x(x − 5): 6(x − 5) + 6x = x(x − 5). После упрощения имеем x² − 17x + 30 = 0, откуда x = 15 или x = 2.
3. Корень 2 не удовлетворяет условию x > 5. При x = 15 второй мастер работает 15 дней, а первый — 15 − 5 = 10 дней.

Проверка: 1/15 + 1/10 = 1/6 заказа в день. Ответ: первый мастер выполнит заказ за 10 дней, второй — за 15 дней.

Типичные ошибки

Составляют уравнение, не обозначив величины и единицы измерения. Из-за этого можно сложить, например, время и скорость или принять время выполнения работы за производительность. Записывай единицы рядом с величинами и проверь, соответствует ли выбранная формула условию задачи.

При умножении на общий знаменатель забывают указать, что знаменатели не равны нулю. Так в преобразования могут попасть запрещённые значения. До решения выпиши ОДЗ, а после решения сравни каждый корень с этими ограничениями.

Сокращают дроби или переносят множители, не проверив, могут ли они быть равны нулю. Если сократить на выражение, которое обращается в ноль при допустимом значении, можно потерять решение; если забыть ограничение знаменателя — получить лишнее. Перед таким действием выясни, какие значения принимает множитель, и сохраняй все ограничения исходного уравнения.

Оставляют все найденные корни без проверки в исходном уравнении и условии задачи. Среди них может быть постороннее значение или величина, невозможная по смыслу, например отрицательное время. Подставь корни в исходное уравнение, затем проверь условия задачи и запиши только подходящие значения.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужно уметь составлять уравнения по текстовому условию и выполнять действия с дробями. Также пригодится умение находить значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль: это необходимо для записи ОДЗ. Задачи на движение и совместную работу дают практические примеры применения рациональных уравнений. Эти навыки понадобятся и при изучении более сложных уравнений с дробями.

Что запомнить

• Сначала обозначь неизвестную и вырази через неё остальные величины.
• Уравнение должно точно отражать связь величин из условия.
• До преобразований найди ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю.
• После умножения на знаменатели проверь найденные корни в исходном уравнении.
• Корень должен не только удовлетворять уравнению, но и иметь смысл в задаче.
• В ответе укажи величину и её единицы измерения.