5.7*. Решение рациональных уравнений при помощи замены неизвестного

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором неизвестная входит в рациональные выражения, например дроби с переменной в знаменателе. Перед решением находят значения, при которых знаменатели обращаются в ноль, и исключают их. Это нужно, чтобы не выполнять действия с выражениями, которые не определены.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения неизвестной, при которых выражения исходного уравнения имеют смысл. Например, в дроби 1/x нельзя подставить x = 0, поэтому для такого уравнения ОДЗ включает условие x ≠ 0. Запись ОДЗ помогает помнить об ограничениях на каждом шаге решения.

Замена неизвестного — введение новой переменной вместо повторяющегося выражения. Например, несколько выражений x + 1/x можно обозначить одной буквой t. Такая запись нужна, чтобы упростить уравнение и распознать его знакомый вид.

Обратная замена — восстановление исходной неизвестной по найденным значениям новой переменной. Если было введено t = x + 1/x, то для каждого найденного t нужно решить уравнение x + 1/x = t. Это позволяет получить именно значения x, которые и являются корнями исходного уравнения.

Как это устроено

Замена особенно удобна, когда одно и то же выражение встречается в нескольких местах или стоит в квадрате. Вместо длинной записи появляется одна переменная, и уравнение может стать линейным или квадратным. Например, если обозначить выражение x² + 1/x² через t, то громоздкая часть сразу превращается в t, а уравнение относительно t решается обычными способами.

Ограничения нужно найти до замены, потому что они возникают в исходных знаменателях. Новая переменная может скрыть эти знаменатели: после упрощения уже не видно, при каком x исходная запись была невозможна. Поэтому сначала выпиши запреты, например x ≠ 0, а в конце оставь только значения, которые им соответствуют.

Выбирай для замены часть, которая повторяется и делает уравнение проще. Если в записи есть x + 1/x, а также x² + 1/x², удобно положить t = x + 1/x: тогда x² + 1/x² = t² − 2. Равенство получается из раскрытия скобок в (x + 1/x)², причём для него требуется x ≠ 0. Не вводи замену только ради новой буквы: она должна упростить вычисления.

После замены реши полученное уравнение относительно новой переменной и выпиши все её корни. Затем по очереди подставь каждое найденное значение в равенство, которое определяло замену. Если, например, t = x + 1/x, обратная замена превращается после умножения на x в квадратное уравнение относительно x; при этом x = 0 всё равно запрещён.

Проверка в исходном уравнении нужна потому, что корень уравнения для t ещё не обязательно даёт допустимое значение x. Например, при действительном x ≠ 0 выражение x² + 1/x² не может быть меньше 2, поэтому некоторые значения t для него невозможны. Также кандидат может нарушать ОДЗ или не удовлетворять исходному равенству. Проверка позволяет оставить только верные корни.

Этапы решения рационального уравнения заменой неизвестного

Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему этапу, только когда проверил предыдущий. Особенно внимательно выполняй обратную замену, если уравнение имеет несколько корней. В ответ включай только значения исходной переменной, прошедшие проверку.

Разбор задач

Задача 1. Решите уравнение (x² + 1)/x = 3.

1. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому ОДЗ: x ≠ 0.
2. Разделим слагаемые в числителе на x: x + 1/x = 3. Левая часть повторяется целиком, поэтому обозначим её буквой t. Тогда t = 3.
3. Выполним обратную замену: x + 1/x = 3. Умножим на x с учётом x ≠ 0: x² − 3x + 1 = 0. По формуле корней получаем x = (3 ± √5)/2.
4. Оба значения не равны нулю, а уравнение после умножения было равносильно исходному при x ≠ 0. Оба корня подходят.

Ответ: x = (3 + √5)/2 или x = (3 − √5)/2.

Задача 2. Решите уравнение x² + 1/x² = 7.

1. Из знаменателя следует ОДЗ: x ≠ 0. Выражение x² + 1/x² связано с квадратом суммы, поэтому положим t = x + 1/x.
2. По тождеству t² = x² + 2 + 1/x² получаем t² − 2 = 7, то есть t² = 9. Здесь важно взять оба значения: t = 3 и t = −3.
3. При t = 3 обратная замена даёт x + 1/x = 3, или x² − 3x + 1 = 0. Отсюда x = (3 ± √5)/2.
4. При t = −3 получаем x + 1/x = −3, или x² + 3x + 1 = 0. Отсюда x = (−3 ± √5)/2. Все найденные значения не равны нулю и удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x = (3 ± √5)/2 или x = (−3 ± √5)/2.

Задача 3. Решите уравнение (x² + 1/x²)² − 3(x² + 1/x²) − 4 = 0.

1. ОДЗ: x ≠ 0. Повторяется выражение x² + 1/x², поэтому обозначим его через t. Получаем квадратное уравнение t² − 3t − 4 = 0.
2. Разложим его на множители: (t − 4)(t + 1) = 0. Значит, t = 4 или t = −1. Но при действительном x ≠ 0 значение x² + 1/x² не меньше 2, поэтому t = −1 невозможно.
3. Остаётся решить x² + 1/x² = 4. Умножаем на x²: x⁴ − 4x² + 1 = 0. Положим z = x²; тогда z² − 4z + 1 = 0, откуда z = 2 ± √3.
4. Оба значения z положительны, поэтому из x² = 2 ± √3 получаем четыре значения x: ±√(2 + √3) и ±√(2 − √3). Они не равны нулю и подходят исходному уравнению.

Ответ: x = ±√(2 + √3) или x = ±√(2 − √3).

Типичные ошибки

• Не учитывать ОДЗ до преобразований — значит допустить в ответ значение, при котором исходная дробь не определена. Так бывает, когда ученик сразу сокращает или умножает на выражение со знаменателем. Перед решением выпиши запреты и проверь по ним каждый кандидат.

• После решения уравнения для новой переменной записать её корни как ответ — ошибка: в условии требуется исходная неизвестная. Это легко пропустить, потому что новая буква решается привычным способом. Проверь, что в финальной строке стоят значения x, найденные обратной заменой.

• Отбросить один из корней новой переменной без основания — значит потерять возможные решения. Например, у уравнения t² = 9 два корня, а знак t сам по себе не указывает, какой из них подходит. Рассмотри оба значения и исключай только после обоснования.

• Не проверять кандидатов в исходном уравнении — значит оставить возможные посторонние корни. Их появлению могут способствовать ограничения ОДЗ или невозможные значения выражения при действительном x. Подставь каждый кандидат в исходную запись и убедись, что знаменатели не равны нулю и равенство верно.

Связь с другими темами

Для решения заменой нужны навыки, которые уже встречались в алгебре: находить ОДЗ рациональных выражений, преобразовывать дроби и решать линейные и квадратные уравнения. В частности, обратная замена часто приводит к квадратному уравнению. Этот приём помогает справляться с более сложными рациональными и биквадратными уравнениями, где повторяющиеся части удобно временно обозначить одной переменной.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ исходного уравнения.
• Для замены выбирай выражение, которое повторяется и упрощает уравнение.
• Реши уравнение относительно новой переменной.
• Каждое найденное значение новой переменной подставь в обратную замену.
• Проверь полученные корни в исходном уравнении.