5.8*. Уравнение-следствие

Определения и обозначения

Уравнение-следствие — уравнение, каждый корень которого является корнем исходного уравнения. Если исходное уравнение обозначить A, а полученное — B, связь записывают так: A ⇒ B. Стрелка означает, что из решения A следует решение B, но обратный переход может быть неверным.

Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Каждое из них является следствием другого, поэтому между ними можно поставить знак равносильности: A ⇔ B. Это понятие помогает отличать преобразования, которые сохраняют все решения, от преобразований, способных добавить лишние.

Посторонний корень — корень уравнения-следствия, который не удовлетворяет исходному уравнению. Он появляется, когда преобразование сохраняет верные решения, но допускает новые. Чтобы не включить такое значение в ответ, кандидатов проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Как это устроено

При решении уравнения важно следить не только за вычислениями, но и за множеством его корней. Корень — это значение неизвестного, при котором исходное равенство верно. Некоторые преобразования сохраняют все корни и не добавляют новых, а другие дают лишь уравнение-следствие. Если не различать эти случаи, в ответ можно включить неподходящее значение.

Возведение обеих частей в квадрат даёт следствие потому, что равные числа имеют равные квадраты. Но обратное утверждение неверно: квадраты противоположных чисел одинаковы, ведь a² = (−a)². Поэтому после возведения в квадрат первоначальное равенство могло превратиться в более широкое условие. Например, из x = 1 следует x² = 1, однако второе уравнение имеет ещё корень −1.

При умножении обеих частей на выражение с неизвестным нужно учитывать, что оно может обратиться в нуль. Если множитель равен нулю, произведения слева и справа окажутся равными нулю независимо от того, были ли равны исходные части. Например, умножение уравнения на x может сделать значение x = 0 допустимым в полученном равенстве. Поэтому проверяют нули множителя и ограничения исходного уравнения.

Решение уравнения-следствия даёт не готовый ответ, а список кандидатов в корни исходного уравнения. Для каждого кандидата нужно подставить его вместо неизвестного в исходное равенство. Если равенство верно и все выражения имеют смысл, значение является корнем; если нет — его отбрасывают. Так проверка отделяет нужные решения от посторонних.

Цепочка равносильных преобразований сохраняет множество корней на каждом шаге, поэтому найденные решения можно перенести обратно без дополнительных проверок. При переходе только к следствию множество может расшириться: все прежние корни останутся, но могут возникнуть новые. Именно поэтому важно отмечать, где выполнено равносильное преобразование, а где получено лишь следствие. В последнем случае проверка в исходном уравнении обязательна.

Преобразования уравнений и их влияние на корни

Пользуйтесь таблицей после каждого преобразования: определите, сохранились ли корни или получено только следствие. Затем проверьте ограничения и выполните необходимые подстановки. Так легче понять, на каком шаге могли появиться лишние значения.

Разбор задач

Проверить, является ли x² = 1 следствием уравнения x = 1, и сравнить множества корней

Нужно проверить, подходит ли любой корень исходного уравнения к новому, и выяснить, совпадают ли множества решений. Исходное уравнение имеет единственный корень: x = 1. Подставим его в уравнение x² = 1 и отдельно решим новое уравнение.

1. Уравнение x = 1 имеет корень 1.
2. При x = 1 получаем 1² = 1, значит, корень исходного уравнения подходит уравнению x² = 1.
3. Решаем x² = 1: квадрат числа равен единице, если число равно 1 или −1.

Значит, множество корней исходного уравнения — {1}, а нового — {−1; 1}. Каждый корень исходного подходит, но у нового появился дополнительный корень −1. Следовательно, x² = 1 является следствием уравнения x = 1, но уравнения неравносильны.

Решить уравнение √(x + 1) = x − 1

Сначала найдём допустимые значения и учтём знак обеих частей, прежде чем возводить их в квадрат. Корень √(x + 1) определён при x ≥ −1 и неотрицателен. Значит, равная ему правая часть тоже должна быть неотрицательной: x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1.

1. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = (x − 1)².
2. Раскрываем скобки и переносим всё в одну часть: x + 1 = x² − 2x + 1, откуда x² − 3x = 0.
3. Разлагаем на множители: x(x − 3) = 0, поэтому кандидаты — 0 и 3.
4. Учитываем условие x ≥ 1: значение 0 не подходит, а 3 проверяем в исходном уравнении.

При x = 3 левая часть равна √4 = 2, а правая — 3 − 1 = 2. Равенство выполняется, значит, 3 — корень исходного уравнения. Ответ: x = 3.

Решить уравнение (x + 1)/(x − 2) = 2

В знаменателе стоит выражение с неизвестным, поэтому сначала исключим значение, при котором оно обращается в нуль. При x = 2 дробь не определена, значит, x ≠ 2. Умножим обе части на знаменатель, помня об этом ограничении, и проверим полученное значение подстановкой.

1. Учитываем ограничение: x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2.
2. Умножаем обе части на x − 2: x + 1 = 2(x − 2).
3. Раскрываем скобки: x + 1 = 2x − 4, откуда x = 5.
4. Подставляем 5 в исходное уравнение: (5 + 1)/(5 − 2) = 6/3 = 2.

Значение 5 не нарушает ограничение и удовлетворяет исходному равенству. Значит, оно является корнем, а ответ — x = 5. Отдельно проверять x = 2 подстановкой нельзя: это значение запрещено областью определения исходной дроби.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать, что из равенства квадратов следует равенство исходных выражений. Так думают, потому что возведение в квадрат кажется обычным преобразованием, но оно стирает знак числа. Для самопроверки вспомните, что 3² = (−3)², и проверяйте кандидатов в исходном уравнении.

• Ошибка: оставить все корни уравнения-следствия без проверки. Уравнение после преобразования может иметь решения, которых не было в исходном, особенно после возведения в квадрат. Подставьте каждое найденное значение в исходное равенство и отбросьте те, при которых оно неверно или не имеет смысла.

• Ошибка: умножить обе части на выражение с неизвестным, не проверив, может ли оно стать нулём. При нулевом множителе полученное равенство способно принять лишнее значение, а знаменатель исходной дроби может быть равен нулю. Перед умножением найдите запрещённые значения и нули множителя, после решения проверьте кандидатов.

• Ошибка: назвать уравнения равносильными, хотя установлено только, что исходное влечёт полученное. Эту путаницу допускают, когда проверяют, что все старые корни сохранились, но не ищут новые. Чтобы назвать уравнения равносильными, сравните множества корней в обе стороны; если обратный переход не доказан, говорите об уравнении-следствии.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями-следствиями нужно знать, что такое корень уравнения, и уметь проверять его подстановкой. Тема опирается на преобразования уравнений и ограничения на допустимые значения выражений, например запрет деления на нуль. Эти знания пригодятся при решении иррациональных уравнений с корнями и рациональных уравнений с дробями. В таких задачах преобразования могут расширить множество решений, поэтому важно проверять кандидатов в исходном уравнении.

Что запомнить

• Уравнение-следствие может иметь больше корней, чем исходное.
• Каждый корень исходного уравнения должен быть корнем его следствия.
• Возведение обеих частей в квадрат может добавить корни.
• При умножении на выражение с неизвестным нужно учитывать, когда оно равно нулю.
• Корни уравнения-следствия проверяют в исходном уравнении.
• Равносильные уравнения имеют одинаковые множества корней.