Дополнения к главе 2

Определения и обозначения

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0. Например, √2 иррационально, потому что 2 не является квадратом целого числа. А √9 = 3 — рациональное число: его можно записать дробью 3/1.

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа вместе. К ним относятся целые числа, обыкновенные дроби, конечные и бесконечные периодические десятичные дроби, а также числа вроде √2. Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой.

Приближённое значение числа — число, близкое к исходному и полученное с заданной точностью. Например, √70 ≈ 8,4 означает, что корень заменили числом 8,4, округлив результат до десятых. Приближение нужно, когда точное значение трудно или невозможно записать конечной десятичной дробью.

Как это устроено

Квадратный корень из натурального числа рационален не всегда. Если подкоренное число является точным квадратом целого числа, корень целый: √36 = 6. Если же такого целого числа нет, корень не может быть рациональной дробью; например, √2 и √5 иррациональны.

Чтобы расположить √a на числовой прямой, сначала ищут соседние целые квадраты. Если 4² < a < 5², то 4 < √a < 5, поэтому корень отмечают между 4 и 5. Для большей точности проверяют числа с десятыми долями, а затем при необходимости — с сотыми.

Сравнение корней можно заменить сравнением подкоренных чисел, потому что функция возведения в квадрат возрастает на неотрицательных числах. Поэтому при a ≥ 0 и b ≥ 0 из a < b следует √a < √b. Условие неотрицательности обязательно: корень в школьной алгебре рассматривается только для неотрицательного подкоренного выражения.

Оценить квадратный корень без точного вычисления помогают соседние квадраты. Например, из 8² = 64 и 9² = 81 следует 8 < √70 < 9. Затем можно проверить 8,3², 8,4² и другие значения, пока нужный интервал не станет достаточно узким.

Точность выбирают по условию задачи: до целых, десятых, сотых или с другой погрешностью. Если нужно получить десятые, оставляют одну цифру после запятой и смотрят на следующую цифру исходного приближения. Нельзя путать точность ответа с количеством цифр, которые временно сохраняют в промежуточных вычислениях.

Рациональные, иррациональные и действительные числа

Таблица помогает сравнить три понятия по одним и тем же признакам. Сначала определите, можно ли записать число дробью целых чисел, затем посмотрите на его десятичную запись и место на числовой прямой.

Разбор задач

Задача 1. Определить, является ли √49 рациональным или иррациональным числом

Нужно проверить, является ли подкоренное число точным квадратом. Для этого достаточно вспомнить квадраты целых чисел. Если точный квадрат найден, корень будет целым, а значит, и рациональным.

1. Находим число, квадрат которого равен 49: 7² = 49.
2. Следовательно, √49 = 7.
3. Число 7 можно представить дробью 7/1.

Ответ: √49 — рациональное число, потому что √49 = 7.

Задача 2. Сравнить √11 и 3,5 без вычисления корня

Оба числа неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат и сравнить результаты. Такой переход сохраняет порядок: большее неотрицательное число имеет больший квадрат. Сравнивать нужно 11 и квадрат числа 3,5.

1. Вычисляем квадрат: 3,5² = 12,25.
2. Сравниваем подкоренное число и квадрат: 11 < 12,25.
3. Значит, √11 < 3,5.

Ответ: √11 меньше 3,5. Точное значение корня находить не требуется.

Задача 3. Оценить √70 с точностью до десятых

Сначала найдём целые границы корня, а затем проверим числа с одной цифрой после запятой. Так мы определим, между какими соседними десятыми находится √70. После этого округлим результат по следующей цифре.

1. Так как 8² = 64, а 9² = 81, получаем 8 < √70 < 9.
2. Проверяем десятые: 8,3² = 68,89, а 8,4² = 70,56.
3. Следовательно, 8,3 < √70 < 8,4.
4. Корень ближе к 8,4: например, 8,37² ≈ 70,06, поэтому до десятых он округляется до 8,4.

Ответ: √70 ≈ 8,4 с точностью до десятых. Знак ≈ показывает, что это не точное равенство.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать любой квадратный корень иррациональным. Так происходит, если забывают о точных квадратах: √49 = 7, а 7 — рациональное число. Проверяйте, является ли подкоренное число квадратом целого числа.

Ошибка 2. Сравнивать корни по подкоренным выражениям без проверки условий. Правило √a < √b работает, когда a и b неотрицательны. Перед сравнением убедитесь, что оба корня арифметические.

Ошибка 3. Неверно округлять приближение. Иногда смотрят только на последнюю оставленную цифру, хотя нужно учитывать первую отброшенную цифру: при 5 или больше округление идёт вверх. Запишите требуемое число знаков и проверьте следующую цифру.

Ошибка 4. Записывать приближённое значение как точное равенство. Запись √70 = 8,4 неверна, потому что 8,4² не равно 70. Для округлённого результата используйте знак ≈.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь находить арифметический квадратный корень, помнить квадраты целых чисел и понимать порядок точек на числовой прямой. Эти знания позволяют быстро получать границы для корней.

Приёмы оценки и сравнения помогают решать задачи с квадратными корнями и проверять разумность ответа. Если результат не попадает в заранее найденный интервал, значит, в вычислениях есть ошибка.

Представление о действительных числах понадобится при решении квадратных уравнений. Оно также используется при изучении графиков функций, где числа изображаются точками координатной прямой.

Что запомнить

• Рациональное число можно представить дробью целых чисел.
• Иррациональное число нельзя представить такой дробью.
• Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
• Если a — точный квадрат целого числа, то √a — целое число.
• Для неотрицательных a и b из a < b следует √a < √b.
• Приближённое значение всегда связано с выбранной точностью.