9.2. Решение систем рациональных уравнений способом подстановки

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в дроби с многочленами, например 1/x = 2. Знаменатель такой дроби не должен быть равен нулю. Это условие сразу показывает, какие значения переменной нельзя использовать при решении.

Система рациональных уравнений — несколько уравнений с общими переменными, для которых нужно найти значения, одновременно удовлетворяющие каждому уравнению. Если переменных две, решение обычно записывают парой чисел (x; y). Это позволяет отличить решение всей системы от корня только одного уравнения.

Способ подстановки — способ решения системы, при котором одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение. Так два уравнения с двумя переменными превращаются в задачу с одной переменной. Этот способ особенно удобен, если выражение получается простым.

ОДЗ системы — множество допустимых значений переменных, при которых все знаменатели исходных уравнений отличны от нуля. Например, в выражении 1/(x − 1) требуется x ≠ 1. ОДЗ нужна, чтобы не включить в ответ пары, при которых исходная система не имеет смысла.

Как это устроено

Перед преобразованиями выписывают ограничения на знаменатели исходной системы. Причина в том, что дробь определена только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Эти ограничения задают ОДЗ и позволяют сразу отмечать недопустимые значения, даже если они появятся при решении нового уравнения.

Затем выбирают уравнение, из которого проще выразить одну переменную. Например, если переменная уже стоит отдельно, её можно сразу использовать; если она входит в линейное уравнение, её обычно легко перенести в другую часть. Чем проще выражение, тем меньше риск ошибиться при дальнейшей подстановке.

Полученное выражение подставляют вместо этой переменной в другое уравнение. Переменная исчезает из него, потому что её заменили выражением через оставшуюся переменную. Поэтому система с двумя неизвестными сводится к одному уравнению, которое уже можно решать обычными способами.

Решая полученное уравнение, нужно сохранять ограничения ОДЗ. Например, при умножении обеих частей на знаменатель преобразование допустимо только при условии, что знаменатель не равен нулю. Поэтому найденные корни сначала рассматривают как кандидаты, а запрещённые значения отбрасывают.

После этого каждому допустимому значению первой переменной находят соответствующее значение второй — подставляют корень в выраженное ранее равенство. Затем проверяют обе координаты в исходной системе, а не только в преобразованном уравнении. В ответ записывают только пары, которые допустимы и удовлетворяют всем исходным уравнениям.

Шаги решения системы рациональных уравнений способом подстановки

Пользуйся таблицей как последовательным планом: не переходи к следующему шагу, пока не учтено условие предыдущего. Особенно внимательно проверь ОДЗ до и после преобразований. В конце ответом будет список проверенных пар.

Разбор задач

Задача 1

Решить систему: y = 1/x, x + y = 2. В первом уравнении удобно выразить y, поэтому подстановка не требует дополнительных преобразований. При этом знаменатель x не должен быть равен нулю. Нужно найти все допустимые пары и проверить их в обоих равенствах.

1. ОДЗ: x ≠ 0.
2. Подставим y = 1/x во второе уравнение: x + 1/x = 2. Умножим на x, помня, что x ≠ 0: x² + 1 = 2x.
3. Перенесём всё в одну часть: x² − 2x + 1 = 0, то есть (x − 1)² = 0. Получаем x = 1, это значение входит в ОДЗ.
4. Найдём y: y = 1/1 = 1. Проверка: 1 = 1/1, а 1 + 1 = 2.

Ответ: (1; 1).

Задача 2

Решить систему: x + y = 3, 1/x + 1/y = 3/2. Здесь переменную удобно выразить из линейного уравнения, а затем подставить в уравнение с дробями. Ограничения нужны для обеих дробей: ни x, ни y не могут быть нулём. После решения нужно проверить каждую пару в исходной системе.

1. ОДЗ: x ≠ 0 и y ≠ 0. Из первого уравнения выразим y: y = 3 − x.
2. Подставим во второе: 1/x + 1/(3 − x) = 3/2. Приведём левую часть к общему знаменателю: 3/[x(3 − x)] = 3/2.
3. Здесь x ≠ 0 и 3 − x ≠ 0, то есть x ≠ 0 и x ≠ 3. Сократим на 3 и перемножим крест-накрест: x(3 − x) = 2. Получим x² − 3x + 2 = 0, или (x − 1)(x − 2) = 0.
4. Значит, x = 1 или x = 2; оба значения допустимы. При x = 1 имеем y = 2, при x = 2 имеем y = 1.
5. Проверка: обе пары дают сумму 3, а суммы обратных чисел равны 1 + 1/2 = 3/2 и 1/2 + 1 = 3/2.

Ответ: (1; 2), (2; 1).

Задача 3

Решить систему: y = 1/(x − 1), x + y = 3. Первое уравнение уже выражает y, поэтому подставим его во второе. Знаменатель сразу задаёт ограничение x ≠ 1. Даже если уравнение после преобразования даст корень, его нужно сравнить с этим условием.

1. ОДЗ: x ≠ 1. Подставим выражение для y: x + 1/(x − 1) = 3.
2. Умножим обе части на x − 1, который не равен нулю: x(x − 1) + 1 = 3(x − 1). После раскрытия скобок получим x² − x + 1 = 3x − 3.
3. Перенесём слагаемые: x² − 4x + 4 = 0, то есть (x − 2)² = 0. Получаем x = 2, и это значение не нарушает ОДЗ.
4. Найдём y: y = 1/(2 − 1) = 1. Проверка: 1 = 1/(2 − 1), а 2 + 1 = 3.

Ответ: (2; 1).

Типичные ошибки

Не выписывают ОДЗ и получают значение, при котором знаменатель исходного уравнения равен нулю. Это часто происходит, когда внимание сосредоточено только на решении полученного уравнения. Перед записью ответа подставь каждую координату в исходные знаменатели и исключи запрещённые значения.

При подстановке теряют скобки или неверно заменяют переменную. Например, выражение 3 − x в знаменателе нельзя заменять на 3 − без учёта всей разности. Чтобы проверить себя, перепиши уравнение целиком с подставленным выражением и только потом раскрывай скобки.

Умножая уравнение на знаменатель, забывают, что он не может быть равен нулю. Из-за этого запрещённый корень могут ошибочно оставить в ответе. Записывай ограничения до умножения и сверяй с ними каждый корень после решения.

Иногда найденное значение одной переменной записывают как ответ системы, не находят вторую координату или не проверяют пару. Но решение системы — это согласованные значения всех переменных, а не отдельный корень. Для самопроверки составь пару, подставь её в каждое исходное уравнение и убедись, что все знаменатели ненулевые.

Связь с другими темами

Для решения таких систем нужны навыки, полученные при изучении рациональных уравнений: умение находить ОДЗ и выполнять действия с дробями. Также важно уметь решать линейные и квадратные уравнения, поскольку именно к ним часто приводит подстановка. Эти умения помогают не только получить корни, но и понять, какие из них допустимы.

Способ подстановки применяют и в других системах уравнений, если одну переменную можно выразить через другую. Он особенно полезен, когда после замены получается уравнение, которое проще решить отдельно. Для систем с рациональными выражениями к этому приёму добавляется обязательный контроль знаменателей.

Что запомнить

• Сначала установи ограничения на знаменатели исходной системы.
• Выражай переменную из уравнения, где это сделать проще.
• Подстановка сводит систему к уравнению с одной переменной.
• При преобразованиях сохраняй условия ОДЗ.
• Каждому найденному значению первой переменной найди соответствующее значение второй.
• Проверяй пары в исходной системе.