9.3. Решение систем рациональных уравнений другими способами

Определения и обозначения

Рациональная система уравнений — система, в уравнениях которой есть рациональные дроби, то есть дроби с переменными в знаменателях. В линейной системе переменные входят только в первой степени и не стоят в знаменателях. Поэтому для рациональной системы важно не только решить уравнения, но и учесть значения, при которых дроби не определены.

Область допустимых значений (ОДЗ) — набор значений переменных, при которых ни один знаменатель системы не равен нулю. Например, в дроби 1/x переменная x не может быть равна нулю. ОДЗ нужна, чтобы не включить в ответ пару, при которой исходная система вообще не имеет смысла.

Равносильные системы уравнений имеют одно и то же множество решений. Преобразования называют равносильными, если они не добавляют и не теряют решения. Это нужно, чтобы найденный ответ действительно подходил исходной системе, а не только уравнениям после упрощения.

Метод введения новых переменных — замена повторяющихся выражений новыми буквами с последующим возвращением к исходным переменным. Например, выражения x + y и xy можно обозначить s и p. Замена упрощает вычисления, но найденные s и p ещё нужно связать с настоящими значениями x и y.

Как это устроено

Сначала выписывают ОДЗ для каждой дроби. При нулевом знаменателе дробь не существует, поэтому такое значение нельзя считать решением, даже если оно появилось после преобразований. Записанные ограничения помогают контролировать допустимость каждого шага и в конце проверить ответ.

Когда ОДЗ известна, уравнение можно умножить на общий знаменатель и убрать дроби. Это упрощает вычисления: вместо дробных выражений часто получаются многочлены. Но умножение на выражение с переменной может привести к посторонним корням, если его нулевые значения не исключены, поэтому решения обязательно проверяют в исходной системе.

После упрощения ищут знакомую структуру. Если одно уравнение позволяет выразить x через y или наоборот, применяют подстановку; если слагаемые похожи, уравнения можно сложить или вычесть. Такие действия помогают убрать одну переменную, но перед ними нужно убедиться, что преобразование не теряет условия ОДЗ.

Симметричные выражения одинаково устроены при перестановке x и y. Например, x + y и xy не меняются местами, поэтому вместо двух переменных удобно сначала найти их сумму s и произведение p. Если известны x + y = s и xy = p, то x и y являются корнями уравнения t² − st + p = 0; найденные корни возвращают в исходную систему.

Графически каждое уравнение задаёт линию или кривую на координатной плоскости. Решения системы — точки, принадлежащие обоим графикам, то есть их точки пересечения. Ограничение ОДЗ может исключить точку, даже если она лежит на обеих кривых; вертикальная асимптота показывает значение x, при котором знаменатель обращается в ноль.

Способы решения систем рациональных уравнений

Таблица помогает выбрать ход решения: сначала найдите повторяющиеся выражения и ограничения, затем сопоставьте вид системы с подходящим способом. После любого способа проверьте найденные значения в исходных уравнениях и по ОДЗ.

Разбор задач

Задача 1

Решить систему: x + y = 5; 1/x + 1/y = 6/5. Сначала выясняем, что x ≠ 0 и y ≠ 0. Во втором уравнении объединяем дроби: их сумма равна (x + y)/(xy), а первое уравнение уже сообщает сумму переменных.

1. Из ОДЗ получаем x ≠ 0, y ≠ 0.
2. Используем x + y = 5: 5/(xy) = 6/5, откуда xy = 25/6.
3. Числа x и y имеют сумму 5 и произведение 25/6, значит, они являются корнями уравнения t² − 5t + 25/6 = 0. Его корни: t = (5 ± 5/√3)/2.
4. Обе пары корней удовлетворяют исходным уравнениям и ОДЗ.

Ответ: ((5 + 5/√3)/2; (5 − 5/√3)/2) и ((5 − 5/√3)/2; (5 + 5/√3)/2).

Задача 2

Решить систему: (x + y)/(x − y) = 3; 1/x + 1/y = 4/3. В знаменателях стоят x − y, x и y, поэтому нельзя допускать x = y, x = 0 или y = 0. Первое уравнение удобно использовать, чтобы выразить x через y.

1. Записываем ОДЗ: x ≠ y, x ≠ 0, y ≠ 0.
2. Из x + y = 3(x − y) получаем 2x = 4y, то есть x = 2y.
3. Во втором уравнении заменяем x: (x + y)/(xy) = 3/(2y) = 4/3. Отсюда y = 9/8, а x = 9/4.
4. Проверяем: найденные числа ненулевые и не равны, а исходные дроби дают 3 и 4/3.

Ответ: (9/4; 9/8).

Задача 3

Решить систему: x + y = 6; x² + y² = 20; 1/(x − y) + 1/(y − x) = 0. В первых двух уравнениях выражения симметричны, поэтому найдём сумму s = x + y и произведение p = xy. Третье равенство определено только при x ≠ y и при этом выполняется для любых таких x и y, ведь дроби взаимно противоположны.

1. Из знаменателей получаем условие x ≠ y.
2. s = 6, а x² + y² = (x + y)² − 2xy, поэтому 20 = 36 − 2p и p = 8.
3. Исходные x и y — корни уравнения t² − 6t + 8 = 0. Разложение даёт (t − 2)(t − 4) = 0, значит, числа равны 2 и 4.
4. Обе расстановки дают x ≠ y; проверка показывает, что сумма равна 6, сумма квадратов равна 20, а третье уравнение определено и верно.

Ответ: (2; 4) и (4; 2).

Типичные ошибки

Не выписывают значения, при которых знаменатель равен нулю, и принимают посторонние решения. Такое случается, когда после избавления от дробей уже не видно запрета исходного выражения. Проверяйте знаменатели до решения и сверяйте ответ с ОДЗ.

Сокращают выражение на переменную, не указав, что она ненулевая. Если переменная равна нулю, деление на неё недопустимо, а возможное решение можно потерять. Перед сокращением запишите соответствующее ограничение и проверьте отдельно случай нулевого значения, если он не запрещён исходной системой.

После возведения в квадрат или умножения на выражение с переменной считают новую систему полностью равносильной исходной. Такие действия могут добавить решения, потому что обратный шаг выполняется не всегда. Подставьте каждую найденную пару в исходные уравнения, а не только в преобразованные.

Находят значения новых переменных и сразу записывают ответ, не выяснив, существуют ли соответствующие x и y. Например, значения суммы и произведения должны давать действительные корни уравнения t² − st + p = 0. Найдите эти корни, проверьте исходные ограничения и только потом записывайте пары.

Связь с другими темами

Для решения рациональных систем нужны преобразования дробей, разложение многочленов на множители и умение находить ОДЗ. Также пригодятся способы решения линейных систем и квадратных уравнений: часто после упрощения именно к ним сводится задача. Проверка подстановкой помогает связать результат преобразований с исходным условием.

Те же приёмы используют в текстовых задачах, где величины связаны дробными формулами, и в системах с симметричными выражениями. Графический способ помогает увидеть число решений и их расположение. Идеи преобразования дробных выражений и учёта ограничений пригодятся также при изучении рациональных неравенств и прикладных моделей.

Что запомнить

• Сначала находят ОДЗ, затем преобразуют систему.
• Общий знаменатель можно исключать только с учётом ограничений.
• Любое найденное решение проверяют в исходной системе.
• Симметричные выражения часто удобно заменить суммой и произведением переменных.
• Графическое решение системы — это точки пересечения соответствующих графиков.
• Преобразование системы допустимо, если оно сохраняет множество решений.