9.4. Решение задач при помощи систем рациональных уравнений

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в числитель или знаменатель дроби. Например, в уравнении 1/x = 1/5 переменная стоит в знаменателе, поэтому x не может быть равен нулю. Ограничения на знаменатели записывают до преобразований: так легче не потерять значения, при которых запись не имеет смысла.

Система рациональных уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Система нужна, когда одного условия недостаточно для определения искомых величин. Например, сведения о сумме двух чисел и о сумме их обратных величин дают два уравнения для тех же чисел.

Решение системы — набор значений неизвестных, удовлетворяющий каждому уравнению системы. Если пара чисел подходит только к одному уравнению, она не является решением всей системы. Поэтому полученные значения проверяют во всех её уравнениях, а не только в том, которое оказалось удобнее решать.

Область допустимых значений — значения неизвестных, при которых все выражения в системе имеют смысл. Для дробей нужно исключить значения, обращающие знаменатель в ноль; условия задачи могут добавить другие ограничения. ОДЗ помогает отделить возможные решения от значений, которые нельзя подставлять в исходную запись.

Как это устроено

Сначала выберите неизвестные так, чтобы через них было удобно выразить искомые величины и данные условия. Если требуется найти два числа, естественно обозначить их x и y; для задачи о насосах можно взять времена работы каждого. Подпишите смысл букв: это подскажет, какие ограничения нужны, и поможет не перепутать величины в уравнениях.

Отношения часто превращаются в дроби, потому что одна величина показывает, сколько приходится на единицу другой. Скорость равна пути, делённому на время, а производительность — доле работы, выполненной за единицу времени. Если вся работа выполняется за x часов, за один час будет выполнено 1/x всей работы: чем больше время, тем меньше производительность.

Каждую связь из условия переведите в отдельное уравнение. Слова «сумма равна» дают равенство суммы, «на 6 часов дольше» — разность времён, а «вместе наполняют за 4 часа» задаёт общую производительность 1/4. Если две величины связаны отношением, запишите это отношение через выбранные неизвестные, например время движения — как путь, делённый на скорость.

Перед решением определите, где дроби имеют смысл. Если неизвестная стоит в знаменателе, она не может равняться нулю; в задачах о времени или скорости часто требуется также положительность. Это нужно сделать заранее, потому что при умножении на выражение с неизвестной можно случайно включить запрещённое значение или потерять ограничение.

Решите полученную систему удобным способом, а затем подставьте найденные значения в исходные уравнения. Такая проверка нужна потому, что преобразования дробных уравнений иногда дают посторонние корни. Наконец, оцените ответ по смыслу: подходят ли числа условию, положительны ли времена и скорости, и действительно ли выполнены все связи задачи.

Как составить систему по тексту задачи

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: сначала решите, что обозначить неизвестными, затем запишите ограничения и отношения. После этого составьте уравнения по отдельным условиям и проверьте ответ. Если величина не имеет смысла при найденном значении, такой ответ нужно исключить, даже когда вычисления верны.

Разбор задач

Два числа

Сумма двух положительных чисел равна 10, а сумма их обратных величин равна 5/12. Обозначим числа x и y. Они положительны, поэтому знаменатели x и y не равны нулю; условия задачи дают два уравнения.

1. Запишем систему: x + y = 10 и 1/x + 1/y = 5/12. Во втором уравнении приведём дроби к общему знаменателю: (x + y)/(xy) = 5/12.
2. Подставим x + y = 10: 10/(xy) = 5/12. Перемножив крест-накрест, получим xy = 24; значит, числа имеют сумму 10 и произведение 24.
3. Подберём числа: 4 + 6 = 10 и 4 · 6 = 24. Проверка обратных величин: 1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12.

Ответ: 4 и 6.

Два насоса

Два насоса вместе наполняют резервуар за 4 часа. Первый насос наполняет его на 6 часов дольше второго. Пусть второй насос делает всю работу за x часов, тогда первому требуется x + 6 часов. Время положительно, поэтому x > 0.

1. За час второй насос выполняет 1/x работы, а первый — 1/(x + 6). Вместе они выполняют 1/4 работы за час, поэтому 1/x + 1/(x + 6) = 1/4.
2. Умножим на 4x(x + 6), помня, что x не равен 0 и x + 6 не равен 0. Получим 4(x + 6) + 4x = x(x + 6), откуда x² − 2x − 24 = 0.
3. Разложим: (x − 6)(x + 4) = 0. Корни — 6 и −4, но отрицательное время не подходит, поэтому x = 6. Тогда первому насосу нужно 12 часов.

Ответ: первый насос наполняет резервуар за 12 часов, второй — за 6 часов.

Два автомобиля

Два автомобиля проехали по 180 км. Второй двигался на 15 км/ч быстрее первого и затратил на час меньше. Обозначим скорость первого через x км/ч, тогда скорость второго равна x + 15 км/ч. Обе скорости положительны.

1. Время равно пути, делённому на скорость. Поэтому первый ехал 180/x часов, второй — 180/(x + 15) часов; по условию 180/x − 180/(x + 15) = 1.
2. Умножим уравнение на x(x + 15), где x ≠ 0 и x + 15 ≠ 0. После упрощения получим x² + 15x − 2700 = 0, то есть (x − 45)(x + 60) = 0.
3. Корень x = −60 не может быть скоростью, поэтому скорость первого равна 45 км/ч. Скорость второго — 60 км/ч; проверка: 180/45 = 4 часа, а 180/60 = 3 часа.

Ответ: скорости автомобилей — 45 км/ч и 60 км/ч.

Типичные ошибки

Иногда производительность записывают как x/1 или считают, что она равна времени, если вся работа выполняется за x часов. Так путают работу за час со временем на всю работу: чем дольше работает насос над полным резервуаром, тем меньше он делает за час. Проверьте себя на простом примере: если на работу уходит 4 часа, за час выполняется 1/4 работы, а не 4 работы.

Другая ошибка — забыть ограничения и подставить значение, при котором знаменатель становится нулём. Это возможно, когда ученик сразу начинает преобразовывать уравнение и не записывает ОДЗ. Перед вычислениями выпишите знаменатели и укажите, при каких значениях они не равны нулю; после решения сравните с этим списком все корни.

Бывает, что проверяют только преобразованное уравнение, но не исходную систему. При преобразованиях, особенно при умножении на выражения с неизвестными, могут появиться значения, не подходящие исходной записи. Подставьте каждый корень в исходные дроби и проверьте все уравнения, а не только последнее полученное равенство.

Наконец, нельзя принимать численный корень автоматически: отрицательное время или скорость обычно не соответствуют смыслу задачи. Такие значения появляются, например, как второй корень квадратного уравнения, и его легко оставить в ответе, если смотреть только на вычисления. Сверьте каждый корень с ограничениями условия и сформулируйте ответ словами с единицами измерения.

Связь с другими темами

Для составления системы нужны навыки, полученные при решении текстовых задач: умение выбирать неизвестные и переводить слова в равенства. Также важно уметь решать системы уравнений и находить допустимые значения переменной в дробных выражениях. Эти знания помогают не только получить корни, но и понять, какие из них подходят исходной задаче.

Системы рациональных уравнений применяют в практических задачах на движение и совместную работу. Они полезны и в других ситуациях, где одна величина выражается отношением двух других: например, когда нужно сравнить время, скорость или долю выполненной работы. Общий приём остаётся тем же: выбрать неизвестные, составить уравнения по условиям и проверить ответ по смыслу.

Что запомнить

• Неизвестные выбирают так, чтобы ими было удобно выразить величины из условия.
• Каждое уравнение системы должно передавать отдельную связь из задачи.
• Производительность за единицу времени выражается обратной величиной к времени выполнения всей работы.
• Знаменатели дробей не должны равняться нулю.
• Решение системы нужно проверить в исходных уравнениях.
• Ответ должен соответствовать смыслу задачи и допустимым значениям величин.