9.1*. Понятие угла

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Общую точку называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, у угла ABC вершина — B, а стороны — лучи BA и BC.

Начальная и конечная стороны появляются, когда один луч поворачивается вокруг своей начальной точки. Луч, с которого начинается движение, называют начальной стороной, а луч, на котором поворот заканчивается, — конечной. Такое обозначение нужно, чтобы точно описать не только положение сторон, но и сам путь поворота.

Ориентированный угол — это угол, для которого задано направление поворота от начальной стороны к конечной. Поворот против часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Благодаря этому один и тот же рисунок может соответствовать разным углам в зависимости от выбранного направления.

Радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, стягиваемой углом, к радиусу этой окружности: α = l/r. Если длина дуги равна радиусу, угол равен одному радиану. Эта мера удобна тем, что напрямую связывает угол с длиной дуги и не зависит от радиуса выбранной окружности.

Как это устроено

Представим луч, закреплённый одним концом в точке O. Если вращать его вокруг O, он занимает разные положения, а каждое перемещение от исходного положения к новому образует угол. Начальный луч нужен как точка отсчёта, а конечный показывает, где вращение остановилось.

Направление поворота позволяет различать два движения между теми же положениями луча. При движении против часовой стрелки угол считают положительным, потому что это принятое положительное направление отсчёта; движение по часовой стрелке обозначают отрицательным. Без направления нельзя понять, какой именно путь пройден между сторонами.

Вращение может продолжаться после одного полного оборота, поэтому ориентированные углы бывают больше 360° или меньше −360°. После 360° луч возвращается в исходное положение, а после дополнительных оборотов снова может совпасть с начальной стороной. Например, углы 60° и 420° заканчиваются на одной стороне, но описывают разное число оборотов.

Полный оборот соответствует всей окружности, а её длина равна 2πr. По формуле радианной меры получаем 2πr/r = 2π, поэтому полный оборот равен 2π радиан и 360°. Развёрнутый угол составляет половину полного оборота, значит, он равен 180° и π радиан.

Градусная и радианная меры описывают один и тот же поворот разными единицами. Так как 180° = π радиан, составляют пропорцию α°/180° = β/π, где α — градусная, а β — радианная мера. Отсюда α° переводят в радианы умножением на π/180, а радианы в градусы — умножением на 180/π.

Основные углы в градусной и радианной мерах

Сначала найдите в таблице известную меру угла, а затем примените соответствующую формулу. Для часто встречающихся углов удобно запомнить значения 90° = π/2, 60° = π/3 и 180° = π. Если угол задан не в таблице, используйте пропорцию с равенством 180° = π.

Разбор задач

Задача 1. Начальная и конечная стороны

Пусть луч OA выбран начальной стороной, а после поворота луч занял положение OB. Нужно определить стороны ориентированного угла и направление поворота, если движение шло против часовой стрелки. Здесь важно читать угол именно как движение от первого луча ко второму, а не просто как область между ними.

1. Начальная сторона — луч OA, потому что с него начинается вращение.
2. Конечная сторона — луч OB, потому что на нём вращение заканчивается.
3. Движение против часовой стрелки означает положительное направление, поэтому угол считают положительным.

Ответ: начальная сторона — OA, конечная сторона — OB, направление поворота — против часовой стрелки. Угол ориентированный и положительный. Если поменять стороны местами, направление изменится на противоположное.

Задача 2. Перевод мер

Переведём угол 150° в радианы, а угол 5π/6 радиан — в градусы. Для первой части используем умножение на π/180, для второй — на 180/π. Такой порядок действий следует непосредственно из равенства 180° = π.

1. 150° = 150 · π/180 = 5π/6 радиан после сокращения 150/180 на 30.
2. 5π/6 · 180/π = 5 · 30° = 150°.
3. В обеих частях получилось одно и то же значение, что подтверждает правильность перевода.

Ответ: 150° = 5π/6 радиан, а 5π/6 радиан = 150°. При переводе π сокращается только в выражении, где радианы умножаются на 180/π. Дробь лучше сокращать до конца, чтобы получить точный результат.

Задача 3. Угол −420°

Нужно определить, сколько полных оборотов содержит угол −420°, и где окажется его конечная сторона. Знак «минус» означает вращение по часовой стрелке, а число 420 показывает, что движение длиннее одного оборота. Для положения конечной стороны найдём сонаправленный угол в пределах одного оборота.

1. 420° = 360° + 60°, значит, по величине угол содержит один полный оборот и ещё 60°.
2. Так как угол отрицательный, поворот идёт по часовой стрелке: −420° = −360° − 60°.
3. После одного полного оборота остаётся положение, соответствующее углу −60°, или 300° при отсчёте против часовой стрелки.

Ответ: выполнен один полный оборот по часовой стрелке и ещё поворот на 60°. Конечная сторона совпадает со стороной угла 300° и находится на 60° по часовой стрелке от начальной. Поэтому −420° и 300° имеют одну конечную сторону.

Типичные ошибки

Ошибка: считать углом только область между лучами и не учитывать направление поворота. Так происходит потому, что в геометрии часто работают с обычным углом, а здесь рассматривается ещё и ориентированный угол. Проверьте себя вопросом: задано ли, от какого луча и в какую сторону выполняется поворот?

Ошибка: путать начальную и конечную стороны. Обычно это случается, когда ученик смотрит только на рисунок и не читает направление движения. Нужно начинать отсчёт с луча, названного первым или указанного как исходный, и заканчивать на втором.

Ошибка: записывать 180° = 2π или 360° = π. Причина — смешение развёрнутого угла с полным оборотом. Самопроверка проста: полный оборот должен быть вдвое больше развёрнутого, поэтому 360° = 2π, а 180° = π.

Ошибка: при переводе градусов в радианы умножать или делить на неправильную величину. Нельзя выбирать действие наугад: сначала запишите 180° = π и составьте пропорцию. Из градусов переходят умножением на π/180, а из радиан — на 180/π.

Связь с другими темами

Для понимания угла нужны знания о луче, прямой, окружности, градусной мере и координатной плоскости. Эти понятия помогают представить стороны угла и определить направление поворота.

Дальше тема используется при определении тригонометрических функций для произвольного угла и работе с единичной окружностью. На окружности удобно видеть конечную сторону угла и сравнивать углы, отличающиеся полными оборотами.

Понятие радиана связано с дугой окружности и формулой длины окружности. Перевод градусов в радианы также является примером преобразования единиц измерения.

Что запомнить

• Угол можно рассматривать как результат поворота луча вокруг его начала.
• Ориентированный угол имеет начальную и конечную стороны.
• Положительный угол соответствует повороту против часовой стрелки, отрицательный — по часовой стрелке.
• Полный оборот равен 360° и 2π радиан.
• Развёрнутый угол равен 180° и π радиан.
• Для перевода между градусами и радианами используют равенство 180° = π.