9.2*. Градусная мера угла

Определения и обозначения

Градусная мера угла — числовая характеристика угла, показывающая, какую долю полного оборота он составляет. Чем большую часть оборота занимает угол, тем больше его градусная мера. Это позволяет сравнивать углы и выполнять с ними вычисления.

Градус — единица измерения углов; полный угол делят на 360 градусов. Один градус обозначают знаком °. Такая единица удобна тем, что прямой угол равен 90°, а развернутый — 180°.

Угловая минута — часть градуса: 1° = 60′. Обозначение минуты — один штрих после числа. Минуты используют, когда одного целого градуса недостаточно для точной записи угла.

Угловая секунда — часть угловой минуты: 1′ = 60″. Два штриха обозначают секунды. Значит, 1° = 3600″, и с помощью секунд можно записывать очень малые части угла.

Как это устроено

Полный угол соответствует одному полному обороту луча вокруг его вершины. Исторически этот оборот разделили на 360 равных частей, поэтому каждая часть получила название градуса. Число 360 удобно для вычислений, поскольку оно делится на множество чисел, и половины, трети или четверти оборота легко выражаются целым числом градусов. Величину любого другого угла находят как долю этого полного оборота.

Градус, минута и секунда образуют не десятичную, а шестидесятеричную систему. Один градус разделён на 60 равных минут, а каждая минута — на 60 секунд. Поэтому при переводе минут в градусы делят на 60, а секунд в градусы — на 60 · 60 = 3600. Число 60 появляется дважды именно потому, что секунда сначала является частью минуты, а минута — частью градуса.

При сложении составных углов сначала складывают секунды, затем минуты и градусы. Если секунд получилось 60 или больше, 60 секунд заменяют одной минутой; если минут получилось 60 или больше, 60 минут заменяют одним градусом. При вычитании действует обратное правило: когда секунд или минут не хватает, у соседней единицы занимают 1, то есть 60 меньших единиц. Такой порядок сохраняет правильную запись результата.

Чтобы получить десятичные градусы из записи с минутами и секундами, минуты заменяют дробью β/60, а секунды — дробью γ/3600. Поэтому угол α° β′ γ″ равен α + β/60 + γ/3600 градусов. Для обратного перевода сначала отделяют целое число градусов, затем дробную часть умножают на 60 и получают минуты. Дробную часть минут снова умножают на 60, получая секунды.

Угол может описывать не только положение луча, но и поворот. Поворот на 360° возвращает луч в исходное положение, а поворот на 450° означает один полный оборот и ещё 90°. Отрицательный угол обозначает поворот в противоположном, заранее выбранном положительном направлении. Поэтому углы 90° и −270° дают одно и то же конечное положение луча, хотя направления поворота различны.

Единицы градусной меры угла и их соотношения

В таблице удобно начинать перевод с более крупной единицы и двигаться к меньшей. При переходе вниз используют умножение на 60, а при переходе вверх — деление на 60. Например, 2° = 120′ = 7200″.

Разбор задач

Перевод составного угла в десятичные градусы

Условие: перевести угол 37° 24′ 18″ в десятичную запись в градусах. Минуты и секунды сначала нужно представить как доли градуса, потому что десятичная запись содержит только одну единицу измерения.

1. Переведём минуты: 24′ = 24/60° = 0,4°.
2. Переведём секунды: 18″ = 18/3600° = 0,005°.
3. Сложим целые градусы и полученные части: 37 + 0,4 + 0,005 = 37,405°.

Ответ: 37° 24′ 18″ = 37,405°.

Перевод десятичных градусов в составную запись

Условие: перевести угол 42,375° в градусы, минуты и секунды. Целая часть уже показывает число градусов, а дробную часть нужно переводить последовательно.

1. Целая часть равна 42°, дробная часть равна 0,375°.
2. Переведём её в минуты: 0,375 · 60 = 22,5′. Получаем 22 полные минуты и 0,5 минуты.
3. Переведём остаток в секунды: 0,5 · 60 = 30″.

Ответ: 42,375° = 42° 22′ 30″.

Вычитание смежных углов

Условие: один из смежных углов равен 128° 47′ 35″. Найти градусную меру второго угла. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому из 180° нужно вычесть известный угол.

1. Запишем разность: 180° 00′ 00″ − 128° 47′ 35″.
2. Займём 1°: получим 179° 60′ 00″, затем займём 1′: 179° 59′ 60″.
3. Вычтем секунды, минуты и градусы: 60″ − 35″ = 25″, 59′ − 47′ = 12′, 179° − 128° = 51°.

Ответ: второй угол равен 51° 12′ 25″.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 1° = 100′ или 1′ = 100″. Её допускают из-за привычки к десятичной системе; проверка проста: вспомните базовое соотношение 1° = 60′ и 1′ = 60″.

Ошибка: записывать 12,5° как 12° 5′. Десятичная часть 0,5° означает половину градуса, то есть 0,5 · 60 = 30′. Значит, правильная запись — 12° 30′.

Ошибка: складывать или вычитать минуты и секунды без перехода через 60. Если результат равен 75″, это не окончательная запись: 75″ = 1′ 15″. Проверяйте, чтобы минуты и секунды после действия были меньше 60.

Ошибка: путать градусную меру с длиной дуги. Одинаковые углы могут опираться на дуги разной длины при разных радиусах окружности. Сначала уточните, измеряется угол или длина дуги: градусная мера не является расстоянием.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны виды углов, понятия полного и развернутого угла, свойство смежных углов и правила действий с дробями. Градусная мера особенно важна при изучении тригонометрических функций, координат на плоскости и поворотов. В геометрии она используется в задачах об окружности, а в практике — в навигации и измерении направлений.

Что запомнить

• Полный угол имеет градусную меру 360°.
• Один градус равен 60 угловым минутам.
• Одна угловая минута равна 60 угловым секундам.
• При переводе минут и секунд в градусы используют деление соответственно на 60 и 3600.
• При обратном переводе дробной части градуса сначала получают минуты, затем секунды.
• При действиях с градусами, минутами и секундами переходят через 60, а не через 10 или 100.