3.3. Решение задач с помощью систем уравнений

Определения и обозначения

Математическая модель задачи — это система уравнений, описывающая связи между величинами из условия. Мы переводим словесные сведения в математические записи, чтобы неизвестные можно было найти вычислениями. Например, фраза «сумма двух чисел равна 17» превращается в уравнение x + y = 17.

Неизвестные величины — значения, которые требуется найти в задаче. Их обозначают буквами, например x и y, и заранее записывают, что именно означает каждая буква. Это нужно, чтобы не перепутать величины и верно составить уравнения: если x — скорость, то его значение измеряется в км/ч, а не в километрах.

Решение системы уравнений — набор значений неизвестных, который одновременно удовлетворяет каждому уравнению системы. Например, пара чисел должна подходить и уравнению о сумме, и уравнению о произведении. Такой набор показывает возможные значения величин, но ещё не всегда гарантирует, что они подходят реальной ситуации из задачи.

Ответ задачи — значения неизвестных, которые подходят условию и отвечают на поставленный вопрос. Поэтому после нахождения решения системы его проверяют по смыслу: длина не может быть отрицательной, а скорость в обычной задаче о движении должна быть положительной. В ответе указывают сами величины и, когда это нужно, их единицы измерения.

Как это устроено

Сначала определяют, что именно нужно найти, и выбирают для этого переменные. Удобно обозначать те величины, которые прямо названы в вопросе или через которые легко выразить остальные. Если обозначить неизвестные неясно, можно перепутать их при составлении уравнений, поэтому смысл каждой буквы записывают до вычислений.

Затем условие разбивают на отдельные связи между величинами и каждую связь переводят в уравнение. Причина такого шага в том, что слова задачи часто сообщают не одно общее правило, а несколько разных фактов: например, сумму величин и их произведение. Важно использовать именно данные условия, а не добавлять предположения, которых в задаче нет.

Уравнения системы рассматривают вместе, потому что каждое из них описывает только часть условия. Значения, подходящие первому уравнению, могут не подходить второму, поэтому для задачи годятся лишь общие решения. Если оставить только одно уравнение, оно часто не позволит однозначно определить все неизвестные.

Составленную систему решают подходящим изученным способом: подстановкой, сложением или другим методом. Выбор зависит от того, как записаны уравнения: иногда удобно выразить одну переменную через другую, а иногда — сложить уравнения так, чтобы переменная исчезла. При преобразованиях важно сохранять равносильность, иначе можно потерять подходящее решение или получить лишнее.

После решения проверяют значения сначала в уравнениях, а затем в исходном условии. Такая проверка нужна, чтобы исключить значения, противоречащие ограничениям задачи, и убедиться, что найдено именно то, о чём спрашивали. Завершает решение ответ словами с подходящими единицами измерения.

Этапы решения задачи с помощью системы уравнений

Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда выполнил предыдущий. Особенно внимательно проверяй, что уравнения отражают условие, а не только удобно решаются. В конце соотнеси найденные числа с вопросом задачи.

Разбор задач

Задача 1. Сумма двух чисел равна 17, а их произведение равно 60. Найдём числа. Обозначим их x и y; условие даёт сразу две связи, поэтому составим систему.

1. Запишем систему: x + y = 17, xy = 60. Первое уравнение передаёт сумму, второе — произведение чисел.

2. Из первого уравнения получим y = 17 − x и подставим во второе: x(17 − x) = 60. Тогда x² − 17x + 60 = 0, откуда x = 5 или x = 12.

3. Если x = 5, то y = 12; если x = 12, то y = 5. Обе пары имеют сумму 17 и произведение 60, поэтому подходят условию.

Ответ: 5 и 12.

Задача 2. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 48 км и встретились через 2 часа. Скорость одного на 4 км/ч больше скорости другого. Обозначим скорости в км/ч через x и y, где x — скорость более быстрого велосипедиста. За 2 часа они вместе проедут расстояние между пунктами.

1. Разность скоростей равна 4, значит x − y = 4. Сумма пройденных расстояний за 2 часа равна 48 км, значит 2x + 2y = 48, или x + y = 24.

2. Сложим уравнения x − y = 4 и x + y = 24. Получим 2x = 28, поэтому x = 14; тогда y = 10.

3. Обе скорости положительны, их разность равна 4, а за два часа велосипедисты вместе проедут 28 + 20 = 48 км. Условия выполнены.

Ответ: скорости велосипедистов — 14 км/ч и 10 км/ч.

Задача 3. Прямоугольный участок имеет периметр 34 м, а площадь 60 м². Найдём его стороны. Обозначим длину через x метров, ширину через y метров; для прямоугольника обе стороны положительны.

1. Периметр задаёт уравнение 2x + 2y = 34, то есть x + y = 17. Площадь даёт второе уравнение xy = 60.

2. Из x + y = 17 выразим y = 17 − x и подставим в уравнение площади. Получим x(17 − x) = 60, откуда x² − 17x + 60 = 0.

3. Корни уравнения — 5 и 12, поэтому возможны пары сторон (5; 12) и (12; 5). Обе стороны положительны, их сумма равна 17, а произведение — 60; порядок длины и ширины не меняет прямоугольник.

Ответ: стороны участка — 5 м и 12 м.

Типичные ошибки

Не указать, что обозначают переменные, — значит оставить неясным смысл уравнений. Так бывает, когда ученик сразу начинает считать и забывает, что похожие буквы могут обозначать разные величины или единицы. Проверь себя: перед системой должна быть запись вроде «x — скорость первого велосипедиста, км/ч».

Записать лишь одно уравнение при нескольких независимых условиях — значит не использовать часть данных задачи. Часто одно условие кажется главным, а остальные остаются незамеченными; в результате неизвестных может оказаться больше, чем связей. Сверь каждое предложение условия с уравнением и проверь, что системе хватает уравнений для нахождения всех неизвестных.

Забыть об ограничениях задачи — значит принять математическое решение за реальный ответ. Например, отрицательная длина или скорость может появиться среди значений, если рассматривать только уравнения и не учитывать смысл величин. Проверь знак и допустимые значения каждой неизвестной по условию.

Записать найденные значения без проверки и ответа словами — значит не убедиться, что они действительно подходят. Эта ошибка возникает, когда решение системы принимают за окончательный результат. Подставь значения во все условия, ответь именно на вопрос задачи и укажи нужные единицы измерения.

Связь с другими темами

Для составления системы нужно уметь обозначать неизвестные, переводить текстовые условия в уравнения и решать системы изученными способами. Поэтому навык опирается на алгебраические преобразования, которые помогают находить общие решения уравнений. Системы применяют в задачах на движение, целые числа, геометрические величины и другие ситуации, где неизвестные связаны несколькими условиями.

Что запомнить

• Сначала выбери и обозначь неизвестные.
• Каждое уравнение должно выражать связь из условия.
• Решение задачи сводится к решению системы, составленной по условию.
• Все найденные значения должны удовлетворять каждому уравнению системы.
• Проверь решения с учётом ограничений задачи.
• В ответе укажи найденные величины и их единицы измерения.