"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Корень n-й степени помогает решить обратную задачу: узнать, какое число возвели в степень, чтобы получить заданное значение. Для этого рассматривают уравнение xⁿ = a и выясняют, сколько у него действительных решений. При нечётном n решение всегда одно, а при чётном его число зависит от знака a. Арифметический корень обозначает только неотрицательное значение, поэтому его важно отличать от всех корней уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — это число x, которое при возведении в степень n даёт a. Значит, чтобы найти такой корень, нужно решить уравнение xⁿ = a. Это определение помогает перейти от результата возведения в степень к неизвестному основанию.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Его обозначают ⁿ√a: например, ³√8 = 2. Такое обозначение выбирает одно значение, даже если уравнение имеет несколько корней.
Радикал — знак √, используемый для записи корня. Индекс слева от знака показывает, какую степень нужно возвести в искомое число, а подкоренное число — какой результат должен получиться. Если индекс не написан, подразумевается квадратный корень, то есть корень второй степени.
Корнем уравнения xⁿ = a называют каждое значение x, при котором равенство верно. Поэтому речь может идти о наборе решений, а арифметический корень задаёт одно неотрицательное число. Например, уравнение x² = 25 имеет два корня, но арифметический квадратный корень из 25 только один.
Возведение в степень — действие, при котором по основанию и показателю находят результат. Обратная задача состоит в том, чтобы по результату и показателю восстановить основание. Именно для неё и вводят понятие корня: решение уравнения xⁿ = a показывает, какое число было возведено в n-ю степень.
Число решений зависит от того, чётное n или нечётное. При нечётной степени отрицательные числа дают отрицательный результат, а положительные — положительный; при увеличении x значение xⁿ тоже увеличивается. Поэтому любому a соответствует ровно одно действительное x. При чётной степени и положительные, и отрицательные числа дают неотрицательный результат, причём противоположные числа дают одинаковую степень.
Если n чётное и a положительное, можно найти положительное число x, для которого xⁿ = a. Число −x тоже подходит, потому что (−x)ⁿ = xⁿ при чётном n. Так появляются два противоположных корня уравнения, а арифметическим называют только положительный из них: обозначение ⁿ√a не выбирает сразу оба решения.
Граничные значения проверяются по свойствам степеней. Нуль в любой натуральной положительной степени остаётся нулём, поэтому при a = 0 уравнение имеет единственный корень x = 0. Если же n чётное, а a отрицательно, решений нет: никакая чётная степень действительного числа не может быть меньше нуля.
Радикал позволяет записать найденное значение короче: вместо слов «число, которое в n-й степени даёт a» пишут ⁿ√a. Такая запись задаёт арифметический корень, а остальные решения уравнения при необходимости указывают отдельно. Для чётного корня подкоренное число должно быть неотрицательным, иначе в действительных числах искомого значения не существует.
| Условие | Чётное n | Нечётное n |
|---|---|---|
| a > 0 | 2 | 1 |
| a = 0 | 1 | 1 |
| a < 0 | 0 | 1 |
Сначала определите знак a, затем посмотрите, чётный показатель n или нечётный. Число в таблице показывает количество решений именно в действительных числах. При двух решениях они противоположны, а при одном решении оно может быть записано с помощью радикала.
Ответ: корни уравнения −5 и 5; арифметический квадратный корень равен 5. Проверка состоит в возведении каждого найденного значения в квадрат. Она подтверждает оба решения, но знак радикала по-прежнему обозначает только неотрицательное число.
Ответ: действительных решений нет. Проверка здесь не требует подбора чисел: достаточно свойства чётной степени. Нельзя записывать корень четвёртой степени из −16 как действительное число, потому что такого значения не существует.
Ответ: x = −2, или x = ⁵√(−32). Проверка возведением в пятую степень подтверждает равенство. Отрицательное подкоренное число допустимо, поскольку показатель корня нечётный.
Ошибка: считать, что √a обозначает оба корня уравнения x² = a. Путают потому, что оба числа при возведении в квадрат дают a, но радикал по определению обозначает арифметический корень. Проверьте себя: √a неотрицателен, а решения уравнения при a > 0 — это отдельно ±√a.
Ошибка: утверждать, что из отрицательного числа можно извлечь корень чётной степени в действительных числах. Так рассуждают, перенося правило для нечётных корней на любой показатель. Проверьте знак: чётная степень неотрицательна, поэтому равенство xⁿ = a при чётном n и a < 0 невозможно.
Ошибка: полагать, что уравнение xⁿ = a всегда имеет два корня. Это неверно, потому что количество решений зависит от чётности n и знака a. Чтобы не ошибиться, сначала определите эти два условия и сверьтесь с таблицей: решений может быть ноль, одно или два.
Ошибка: смешивать корень уравнения и арифметический корень. Первый термин включает все подходящие значения x, второй называет одно неотрицательное число; путаница возникает из-за сходных слов. Проверьте себя подстановкой: перечислите все решения уравнения, а затем отдельно выберите неотрицательное значение для радикала.
Чтобы разбираться в корнях, нужно уметь возводить числа в натуральную степень, знать, как ведут себя чётные и нечётные степени, и решать простейшие уравнения. Эти знания позволяют проверять найденные значения и понимать, когда решений нет. Позже радикалы понадобятся при преобразовании выражений и решении уравнений. Понятие корня также связано со степенными функциями: свойства функции зависят, в частности, от чётности показателя.
Чем арифметический квадратный корень отличается от корней уравнения x² = a?
Корни уравнения — все числа, квадраты которых равны a. Арифметический квадратный корень √a — только неотрицательное из них; для a > 0 он один.
Почему уравнение x² = 9 имеет два корня, а √9 равно только 3?
И 3, и −3 при возведении в квадрат дают 9, поэтому уравнение имеет два корня. Знак √ обозначает арифметический корень, который по определению неотрицателен, значит √9 = 3.
Можно ли извлечь корень чётной степени из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя: чётная степень любого числа неотрицательна. Поэтому, например, уравнение x⁴ = −16 не имеет действительных решений.
Почему корень нечётной степени существует и для отрицательного числа?
При нечётном показателе отрицательное число в степени остаётся отрицательным. Кроме того, значения xⁿ возрастают вместе с x, поэтому для каждого a есть ровно одно действительное число x, для которого xⁿ = a.
Сколько действительных корней может иметь уравнение xⁿ = a?
При нечётном n уравнение имеет один действительный корень при любом a. При чётном n оно имеет два корня, если a > 0, один корень 0, если a = 0, и ни одного действительного корня, если a < 0.
§ 1. Развитие понятия корня
