"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Корень n-й степени из числа a — это число, которое после возведения в n-ю степень даёт a. Корни помогают выполнять действие, обратное возведению в степень, и решать уравнения вида xⁿ = a. При нечётном показателе корень существует для любого действительного числа, а при чётном — только из неотрицательного. Арифметическим называют неотрицательный корень.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — число x, для которого xⁿ = a, где n — натуральное число больше 1. Например, 2 — корень третьей степени из 8, потому что 2³ = 8. Это определение связывает корень с обратным действием к возведению в степень.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — единственное неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, √[4]{16} = 2, а не −2. Такое уточнение нужно, чтобы знак корня обозначал одно определённое значение.
Запись √[n]{a} называется знаком корня с подкоренным выражением a, а число n — показателем корня. Подкоренное выражение может быть не только одним числом, но и целым выражением. Показатель показывает, в какую степень нужно возвести результат.
Корень нечётной степени существует для любого действительного числа, а корень чётной степени в действительных числах существует только из неотрицательного числа. Так, √[3]{−27} определён, а √[4]{−27} — нет в множестве действительных чисел. Это следует из того, какие знаки могут иметь нечётные и чётные степени.
Возведение в степень и извлечение корня являются обратными действиями: первое действие получает xⁿ из x, а второе по известному результату a восстанавливает x. Поэтому равенство √[n]{a} = x означает одновременно, что xⁿ = a. Проверка корня всегда основана именно на этой связи.
Показатель корня определяет уравнение, которое нужно рассматривать: для √[3]{a} это x³ = a, а для √[6]{a} — x⁶ = a. Он же определяет число действительных решений. Нельзя рассуждать о корне, не учитывая, чётный показатель или нечётный.
При нечётном n функция xⁿ сохраняет порядок чисел: отрицательные значения переходят в отрицательные, ноль — в ноль, положительные — в положительные. При движении x от отрицательных значений к положительным результат xⁿ непрерывно проходит через все действительные числа. Поэтому для каждого a существует ровно одно x, и корень может быть отрицательным.
При чётном n числа x и −x дают один и тот же результат, потому что (−x)ⁿ = xⁿ. Кроме того, любая чётная степень неотрицательна: она не может равняться отрицательному числу. Поэтому при a > 0 появляются два противоположных решения, при a = 0 остаётся одно, а при a < 0 решений в действительных числах нет.
Арифметическим корнем при чётном показателе называют только неотрицательное решение. Если √[4]{16} = 2, то уравнение x⁴ = 16 имеет решения x = 2 и x = −2. Чтобы проверить найденное значение, возведите его в степень, указанную показателем корня, и сравните результат с подкоренным выражением.
| Случай | Условие на a | Решения уравнения xⁿ = a | Арифметический корень | Пример |
|---|---|---|---|---|
| n нечётное | a > 0 | Одно положительное решение | √[n]{a} | √[3]{8} = 2 |
| n нечётное | a = 0 | Одно решение x = 0 | √[n]{0} = 0 | √[5]{0} = 0 |
| n нечётное | a < 0 | Одно отрицательное решение | √[n]{a} < 0 | √[3]{−8} = −2 |
| n чётное | a > 0 | Два противоположных решения ±√[n]{a} | Только положительное решение √[n]{a} | √[4]{16} = 2, x = ±2 |
| n чётное | a = 0 | Одно решение x = 0 | √[n]{0} = 0 | √[6]{0} = 0 |
| n чётное | a < 0 | Действительных решений нет | Не существует в действительных числах | √[4]{−16} не определён в R |
Сначала определите, чётный или нечётный показатель n, затем найдите строку с нужным условием на a. Для вычисления самого арифметического корня берите неотрицательное значение, если показатель чётный. При решении уравнения отдельно учитывайте все действительные решения, поэтому знак ± может появиться только в ответе уравнения.
Нужно распознать числа под корнями как совершенные степени. Показатель 3 нечётный, поэтому отрицательное подкоренное число допустимо. Показатель 4 чётный, поэтому выбираем неотрицательное значение.
Ответ: √[3]{−125} = −5, √[4]{81} = 3. Знак минус в первом результате необходим, потому что нечётная степень отрицательного числа остаётся отрицательной. Во втором результате отрицательное значение не записывается, так как арифметический корень неотрицателен.
Показатель 5 нечётный, поэтому уравнение имеет ровно одно действительное решение. Нужно найти число, пятая степень которого равна −32. Отрицательный ответ допустим.
Ответ: x = −2. Второго действительного решения нет, поскольку функция x⁵ принимает каждое действительное значение только один раз. Извлечение корня можно записать так: x = √[5]{−32} = −2.
Показатель 6 чётный, а правая часть положительна. Сначала находим арифметический корень √[6]{64} = 2, потому что 2⁶ = 64. Затем учитываем, что противоположное число −2 имеет ту же чётную степень.
Ответ: x = ±2, то есть x₁ = 2, x₂ = −2. Два числа появляются потому, что шестая степень не меняется при замене x на −x. Запись √[6]{64} = 2 сама по себе содержит только арифметический корень.
Ошибка: записывать √[4]{16} = ±2. Её допускают, смешивая значение арифметического корня с решениями уравнения x⁴ = 16. Проверьте себя: под знаком корня должен стоять только неотрицательный результат, а ± появляется при перечислении корней уравнения.
Ошибка: извлекать корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах. Причина — механическое применение знакомых правил без проверки знака степени. Возведите любое действительное число в чётную степень: отрицательный результат невозможен.
Ошибка: считать, что √[3]{−a} не существует или равен √[3]{a}. При нечётном показателе корень из отрицательного числа существует и имеет отрицательный знак. Проверка проста: сравните кубы чисел; например, (−2)³ = −8, а 2³ = 8.
Ошибка: путать показатель корня со степенью подкоренного выражения. Из-за этого неверно выбирают число или применяют свойства степеней к неподходящему выражению. Сначала подпишите показатель n и проверьте найденный ответ возведением именно в степень n.
До изучения корней высших степеней нужны навыки возведения в натуральную степень, знание свойств степеней и умение решать уравнения вида xⁿ = a. Эти действия позволяют понимать определение корня и проверять вычисления.
Корни высших степеней используются при преобразовании выражений со степенями и корнями. Они помогают решать степенные уравнения, где неизвестная находится под знаком степени.
Позже это понятие понадобится при изучении функций y = xⁿ, обратных зависимостей и иррациональных уравнений. Знание числа корней помогает анализировать графики и отбирать допустимые решения.
Почему √[4]{16} не равно ±2?
Знак √ обозначает арифметический корень, а он по определению неотрицателен. Поэтому √[4]{16} = 2. Запись ±2 появляется при решении уравнения x⁴ = 16, у которого два корня: 2 и −2.
Можно ли извлечь корень чётной степени из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя. Чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому равенство x⁴ = −16 или x⁶ = −5 не имеет действительных решений.
Почему кубический корень из отрицательного числа существует?
При нечётной степени отрицательное число сохраняет знак: например, (−2)³ = −8. Поэтому для любого отрицательного a существует единственное действительное число, куб которого равен a.
Сколько решений имеет уравнение x^n = a?
При нечётном n уравнение имеет одно действительное решение при любом a. При чётном n и a > 0 решений два, при a = 0 — одно, а при a < 0 действительных решений нет.
Как проверить, правильно ли найден корень высшей степени?
Найденное число нужно возвести в степень с показателем корня. Если получилось подкоренное выражение, ответ верен; для чётного корня дополнительно проверяют, что найденное арифметическое значение неотрицательно.
4.1.1. Корни высших степеней
