"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Корень n-й степени позволяет находить число, которое после возведения в степень n даёт подкоренное выражение. При преобразованиях корней используют разложение на множители, свойства произведения и частного, вынесение точных степеней и переход к дробным показателям. Нужно учитывать чётность показателя, область допустимых значений и модуль. Эти правила помогают упрощать выражения, складывать радикалы и преобразовывать дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — это число x, для которого xⁿ = a. При нечётном n такой корень единственный и существует для любого действительного a, а при чётном n действительные корни существуют только при a ≥ 0 и имеют противоположные знаки; арифметическим называют неотрицательный из них. Это определение помогает проверять результат возведением в степень.
Арифметический корень n-й степени при чётном n — неотрицательное значение корня из неотрицательного числа: √[n]{a} ≥ 0. Например, √4 = 2, хотя и 2², и (−2)² равны 4. Такое соглашение делает запись корня однозначной.
Подкоренное выражение — выражение, записанное под знаком корня, например a + 3 в √[n]{a + 3}. При чётном показателе оно должно быть неотрицательным, иначе действительного корня нет; при нечётном ограничение по знаку отсутствует. Поэтому область допустимых значений проверяют до преобразований.
Степень с дробным показателем связывает корни и степени: a^(1/n) = √[n]{a}, а a^(m/n) = √[n]{aᵐ} в допустимых случаях. Обратная замена позволяет применять привычные правила действий со степенями. При чётном n для действительных чисел обычно требуется a ≥ 0.
Свойство √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b} основано на том, что произведение n-х степеней равно n-й степени произведения. Аналогично частное n-х степеней даёт n-ю степень частного, поэтому √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b}. При чётном n все подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель исходной дроби — не равен нулю.
Чтобы вынести множитель, подкоренное выражение разлагают так, чтобы один множитель был точной n-й степенью: √[n]{bⁿc} = b√[n]{c} при подходящих знаковых условиях. Обратное действие тоже возможно: неотрицательный множитель b перед корнем превращается в √[n]{bⁿ} и вносится под знак корня. Смысл приёма в том, что bⁿ и корень взаимно уничтожают друг друга.
При извлечении корня из степени нужно учитывать знак результата. Например, √[4]{x⁴} = |x|, потому что арифметический корень не может быть отрицательным, а |x|⁴ = x⁴. Для нечётного показателя знак сохраняется: √[3]{x³} = x.
Складывать и вычитать можно только радикалы с одинаковыми показателями и одинаковыми подкоренными выражениями. Это похоже на приведение подобных слагаемых: 2√[n]{c} + 5√[n]{c} = 7√[n]{c}. Если радикалы сначала упростить, разные на вид выражения иногда становятся одинаковыми.
Дробь с корнем в знаменателе преобразуют домножением на такое выражение, которое превращает знаменатель в рациональное число. Для √[3]{a} достаточно домножить на √[3]{a²}, потому что произведение даёт √[3]{a³} = a. Домножать можно только на ненулевое выражение и обязательно умножать одновременно числитель и знаменатель.
В таблице собраны основные приёмы и условия их применения. Сначала проверьте область допустимых значений, затем упростите отдельные радикалы и только после этого складывайте или вычитайте их. В последней строке указано действие, используемое для получения рационального знаменателя.
| Вид преобразования | Условия применения | Результат |
|---|---|---|
| Корень из произведения | Радикалы определены; при чётном n множители неотрицательны | √[n]{ab} = √[n]{a} · √[n]{b} |
| Корень из частного | b ≠ 0; выражения под корнями допустимы | √[n]{a/b} = √[n]{a}/√[n]{b} |
| Корень из степени | Учитывается чётность n | √[n]{xⁿ} = |x| при чётном n; x при нечётном n |
| Извлечение точной n-й степени из-под корня | Подкоренное выражение содержит множитель bⁿ | √[n]{bⁿc} = b√[n]{c} с учётом знака |
| Внесение множителя под знак корня | Множитель перед корнем неотрицателен при чётном n | b√[n]{c} = √[n]{bⁿc} |
| Сложение и вычитание одинаковых радикалов | Показатели и подкоренные выражения совпадают | a√[n]{c} ± b√[n]{c} = (a ± b)√[n]{c} |
| Замена корня степенью с дробным показателем | Выражение определено | √[n]{aᵐ} = a^(m/n) |
| Устранение корня из знаменателя | Знаменатель не равен нулю | Домножение на подходящий корень |
Нужно найти в числе 54 кубический множитель, который можно вынести из-под корня. Число 54 раскладывается как 27 · 2, а 27 = 3³. Поэтому один множитель даст целое число, а второй останется под знаком корня.
Ответ: √[3]{54} = 3√[3]{2}.
Здесь x — действительное число, поэтому его знак заранее неизвестен. Число 16 является точной четвёртой степенью, а корень из x⁴ при чётном показателе даёт модуль. Именно модуль сохраняет неотрицательность арифметического корня.
Ответ: √[4]{16x⁴} = 2|x|.
В знаменателе находится кубический корень из 2. Нужно подобрать множитель, чтобы под корнем получилось 2³: для этого не хватает множителя 2² = 4. Домножим числитель и знаменатель на √[3]{4}, не изменяя значения дроби.
Ответ: 3/√[3]{2} = 3√[3]{4}/2.
Записывают √[n]{xⁿ} = x при чётном n. Ошибка появляется, когда забывают, что арифметический корень неотрицателен. Проверка на x = −2 сразу показывает правильную запись: √[4]{(−2)⁴} = 2 = |−2|.
Раскрывают корень суммы или разности. Свойства корня произведения и частного не распространяются на сложение: √(a + b) обычно не равно √a + √b. Проверить себя можно подстановкой простых чисел, например 1 и 4.
Складывают радикалы с разными подкоренными выражениями. Такая ошибка похожа на сложение несходных слагаемых; сначала нужно вынести точные степени и привести радикалы к общему виду. Например, √12 превращается в 2√3, после чего его можно сложить с 5√3.
Игнорируют недопустимые значения или делят на ноль. При чётном корне подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не может равняться нулю. Перед преобразованием выпишите ограничения и подставьте найденные значения в исходное выражение.
Для преобразований корней нужны свойства степеней, разложение чисел и выражений на множители, модуль и действия с дробями. Без этих навыков трудно найти точную n-ю степень или правильно учесть знак результата.
Преобразованные радикалы используются при решении иррациональных уравнений и неравенств. Упрощение помогает сравнивать выражения, выполнять проверку и не терять ограничения на переменные.
Корни связаны со степенями с рациональными показателями: √[n]{a} = a^(1/n). Поэтому правила этой темы служат основой для дальнейших преобразований алгебраических выражений со степенями.
Почему корень чётной степени из x^n нельзя всегда заменить на x?
Арифметический корень чётной степени неотрицателен. Если x < 0, то √[n]{xⁿ} = |x| = −x, а не x. Поэтому без модуля запись верна только при дополнительном условии x ≥ 0.
Можно ли вынести множитель из-под корня, если он не является точной n-й степенью?
Целиком вынести такой множитель нельзя: для этого он должен быть представлен как bⁿ. Но подкоренное выражение можно разложить на множители и вынести ту часть, которая является точной n-й степенью.
Почему корень из суммы не равен сумме корней?
Возведение суммы в степень создаёт дополнительные слагаемые, поэтому операция не распределяется по сложению. Например, √(1 + 4) = √5, а √1 + √4 = 3, и эти числа не равны.
Как понять, являются ли два радикала одинаковыми?
У них должны совпадать показатель корня и подкоренное выражение после упрощения. Например, 2√3 и √12 являются одинаковыми по сути, потому что √12 = 2√3. Только такие радикалы можно складывать и вычитать.
Всегда ли нужно избавляться от корня в знаменателе?
Не всегда: математически дробь с корнем в знаменателе может быть правильной записью. Домножение применяют, когда требуется рациональный знаменатель или этого требует условие задачи. При этом новый множитель не должен делать знаменатель равным нулю.
4.1.2. Преобразование выражений, содержащих корни n-й степени
