4.1.З.* Более сложные преобразования выражений, содержащих корни

Определения и обозначения

Квадратный корень √a при a ≥ 0 — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Например, √9 = 3, а не −3, потому что знак √ задаёт именно неотрицательное значение. Поэтому √(a²) = |a|: модуль числа неотрицателен и при возведении в квадрат даёт a². Это правило помогает не потерять знак переменной при упрощении выражений.

Сопряжёнными называют выражения вида a + b√c и a − b√c: в них совпадают слагаемые, но между ними стоят разные знаки. При умножении таких выражений получается разность квадратов: (a + b√c)(a − b√c) = a² − b²c. Корни в результате нет, поэтому сопряжённые выражения используют, например, чтобы упростить знаменатель дроби.

Вынесение множителя из-под корня — это замена корня из произведения с полным квадратом на произведение вне корня и оставшийся корень: √(a²b) = |a|√b при b ≥ 0. Полный квадрат можно распознать, например, в числе 72 = 36 · 2. Модуль обязателен, потому что √(a²) не может быть отрицательным. Это преобразование удобно для упрощения корней и поиска подобных радикалов.

Внесение множителя под знак корня объединяет внешний множитель с подкоренным выражением: a√b = √(a²b) при a ≥ 0 и b ≥ 0. Внешний множитель при этом возводят в квадрат, ведь под корнем должно оказаться число, квадратный корень из которого равен исходному произведению. Например, 3√2 = √18. Условие a ≥ 0 существенно: отрицательное число нельзя просто внести под знак квадратного корня.

Как это устроено

Любое преобразование начинают с проверки области допустимых значений (ОДЗ) — всех значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное число, а знаменатель дроби не может быть равен нулю. Эта проверка нужна не формально: если при преобразовании забыть условие, можно получить выражение, определённое при значениях, где исходное выражение не существовало. Поэтому сначала записывают ограничения, затем упрощают выражение и в конце сверяют результат с исходной ОДЗ.

Чтобы вынести множитель, ищут под корнем полный квадрат и представляют подкоренное выражение как произведение квадрата на оставшуюся часть. Например, 72 = 36 · 2, поэтому √72 = √36 · √2 = 6√2. Причина такого шага — обратная связь между возведением в квадрат и извлечением корня: √36 равно 6. Если вместо конкретного числа выделяется a², из корня выходит |a|, иначе при отрицательном a результат оказался бы отрицательным, хотя квадратный корень всегда неотрицателен.

Внесение множителя под корень выполняет обратную задачу: внешний множитель a записывают как √(a²), затем объединяют корни. Так, 3√2 = √9 · √2 = √18. Но равенство начинается с √(a²) = |a|, поэтому оно превращается в a только при a ≥ 0. Если множитель отрицательный, его знак нельзя спрятать в квадратном корне: например, −3√2 остаётся отрицательным, тогда как √18 положителен. Проверка знака сохраняет правильное значение выражения.

Складывать и вычитать разрешается только подобные радикалы — корни с одинаковой подкоренной частью и одинаковыми условиями допустимости. Например, √72 и √8 на первый взгляд разные, но после упрощения становятся 6√2 и 2√2. Тогда корень √2 играет роль общего множителя, как буква в выражении 6x − 2x, и можно вычислить коэффициенты: 6√2 − 2√2 = 4√2. Если подкоренные части различны и не упрощаются до одинаковых, складывать их под одним корнем нельзя.

Корень в знаменателе часто убирают с помощью сопряжённого выражения. Для знаменателя a + b√c берут a − b√c: при умножении корни сокращаются по формуле разности квадратов. Дробь при этом умножают на единицу, записанную как отношение сопряжённого выражения к самому себе, поэтому умножать нужно и числитель, и знаменатель. Перед делением на полученный знаменатель убеждаются, что он не равен нулю, а ограничения исходной дроби сохраняют.

Приёмы преобразования выражений с корнями

Сначала выберите приём по тому, что требуется изменить: упростить отдельный корень, объединить множители, выполнить сложение или очистить знаменатель от корня. Затем проверьте условия в последнем столбце. Таблица помогает выбрать подходящий шаг, но не отменяет проверки области допустимых значений исходного выражения.

Разбор задач

Упростить √72 − 2√8. Здесь корни пока имеют разные подкоренные числа, поэтому нельзя сразу вычитать их под одним знаком корня. Поищем в каждом подкоренном выражении полный квадрат, чтобы представить оба радикала через одну и ту же подкоренную часть. После этого останется выполнить вычитание коэффициентов.

1. Разложим 72 на произведение полного квадрата и остатка: 72 = 36 · 2. Тогда √72 = √36 · √2 = 6√2.
2. Для второго корня используем разложение 8 = 4 · 2. Получаем √8 = √4 · √2 = 2√2, поэтому 2√8 = 2 · 2√2 = 4√2.
3. Теперь радикалы подобные: у обоих под корнем стоит 2. Вычитаем коэффициенты и сохраняем общий множитель: 6√2 − 4√2 = 2√2.

Ответ: 2√2. Проверка показывает, почему упрощать нужно до вычитания: исходные подкоренные числа были разными, но после выделения квадратов выражения стали подобными. Все корни определены, потому что под ними стоят положительные числа.

Упростить √(x² − 6x + 9) при x < 3. Подкоренное выражение — квадратный трёхчлен, и его можно представить как полный квадрат. Но после извлечения корня нельзя автоматически убрать квадратную степень: знак выражения зависит от условия x < 3. Именно условие задачи позволяет определить, чему равен модуль.

1. Разложим трёхчлен по формуле квадрата разности: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
2. Извлечём корень с учётом модуля: √((x − 3)²) = |x − 3|.
3. Так как x < 3, разность x − 3 отрицательна. Поэтому |x − 3| = −(x − 3) = 3 − x.

Ответ: 3 − x. Без условия x < 3 ответом оставался бы модуль |x − 3|, а не одно выражение 3 − x. Подстановка, например x = 2, даёт √1 = 1 и 3 − 2 = 1, что подтверждает результат.

Упростить дробь 1/(√5 − 2). В знаменателе стоит разность, поэтому выберем сопряжённое выражение √5 + 2. Умножение на него должно затронуть всю дробь: так мы фактически умножим её на единицу и сохраним значение. Затем используем разность квадратов и проверим, что полученный знаменатель ненулевой.

1. Умножим числитель и знаменатель на одно и то же выражение: 1/(√5 − 2) = (√5 + 2)/((√5 − 2)(√5 + 2)).
2. В знаменателе применим формулу (a − b)(a + b) = a² − b²: получаем (√5)² − 2² = 5 − 4 = 1.
3. Деление на 1 не меняет числитель, поэтому результат равен √5 + 2. Исходный знаменатель не равен нулю, поскольку √5 ≠ 2; новый знаменатель также равен 1.

Ответ: √5 + 2. Сопряжённое выражение убрало корень из знаменателя благодаря разности квадратов. Если бы умножили только знаменатель, значение дроби изменилось бы, поэтому числитель тоже необходимо умножать.

Типичные ошибки

Ошибка: записать √(a²) = a для любого a. Так делают, забывая, что знак квадратного корня задаёт неотрицательное число; при отрицательном a равенство даст неверный знак. Правильно писать √(a²) = |a|, а затем раскрывать модуль с учётом знака или условия на переменную. Проверка на a = −2 сразу показывает разницу: √4 = 2, а не −2.

Ошибка: складывать корни по правилу √a + √b = √(a + b). Такое правило кажется правдоподобным из-за свойства умножения корней, но для сложения оно не действует: например, √1 + √4 = 3, а √5 не равно 3. Сначала нужно упростить каждый радикал, а складывать только те, у которых одинаковая подкоренная часть. Проверить сомнительное равенство можно возведением обеих неотрицательных частей в квадрат.

Ошибка: внести отрицательный множитель под корень, не учитывая знак. Формула a√b = √(a²b) применима при a ≥ 0 и b ≥ 0; иначе правая часть не сохраняет знак исходного произведения либо вообще не определена. Например, −2√3 отрицательно, а √12 положительно. Перед внесением проверьте оба условия и, если множитель отрицателен, оставьте знак минус перед корнем.

Ошибка: при умножении дроби на сопряжённое изменить только знаменатель. В таком случае дробь уже не умножена на единицу, и её значение обычно изменится. Например, переход от 1/(√5 − 2) к 1 без изменения числителя неверен. Чтобы проверить преобразование, убедитесь, что числитель и знаменатель умножены на один и тот же ненулевой множитель, а исходный знаменатель не обращается в ноль.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны умение находить область допустимых значений, раскладывать квадратный трёхчлен на множители и применять формулы сокращённого умножения. Преобразования опираются на свойства квадратного корня и правила работы с дробями; особенно важно понимать, как выделить полный квадрат и почему при его извлечении возникает модуль. Те же приёмы помогают упрощать алгебраические дроби и выражения, встречающиеся при решении иррациональных уравнений и неравенств. Поэтому проверка знаков и допустимых значений остаётся необходимой и в дальнейших темах.

Что запомнить

• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
• √(a²) = |a|, а не всегда a.
• Подобные радикалы можно складывать после упрощения корней.
• При внесении множителя под корень его возводят в квадрат.
• Сопряжённые выражения отличаются знаком между слагаемыми.
• Умножение на сопряжённое выражение помогает избавиться от корня в знаменателе.
• После преобразований нужно убедиться, что область допустимых значений не изменилась.