4.1.4. Функция У = У!Х и ее график

Определения и обозначения

Тангенс числа x — отношение синуса этого числа к его косинусу: tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0. Число x здесь задаёт угол в радианах: например, π/4 соответствует углу 45°. Такое определение позволяет находить тангенс через уже знакомые синус и косинус.

Функция y = tg x каждому допустимому числу x ставит в соответствие значение тангенса этого числа. Например, при x = π/4 получаем y = 1. Понятие функции удобно тем, что можно изучать не только отдельные значения, но и общую зависимость между x и y.

Область определения функции y = tg x — все числа, кроме x = π/2 + πk, где k — целое число. В этих точках cos x = 0, поэтому дробь sin x / cos x не имеет значения. Это условие помогает сразу исключить недопустимые аргументы при вычислениях и построении графика.

График функции y = tg x — множество точек с координатами (x; tg x) для всех x из области определения. Каждая точка показывает, какому значению функции соответствует выбранный аргумент. График наглядно раскрывает её поведение, включая промежутки возрастания и места, где функция не определена.

Как это устроено

Из формулы tg x = sin x / cos x следует, что нельзя брать значения x, при которых знаменатель равен нулю. Косинус обращается в ноль при x = π/2 + πk, поэтому именно эти числа исключают из области определения. Синус при таких x равен 1 или −1, так что сокращения дроби не происходит и деление на ноль невозможно.

Чтобы найти период, сравним значения функции в точках x и x + π. При сдвиге на π и синус, и косинус меняют знак, поэтому отношение (−sin x) / (−cos x) равно прежнему sin x / cos x. Значит, tg(x + π) = tg x, и график повторяется через π. Период меньше π невозможен: например, нули функции расположены через π, а между соседними нулями нет других нулей.

Начнём построение с промежутка (−π/2; π/2), где нет точек разрыва. В точках −π/4, 0 и π/4 значения тангенса равны соответственно −1, 0 и 1, поэтому отмечаем точки (−π/4; −1), (0; 0), (π/4; 1). Через них проводят возрастающую плавную ветвь: при приближении к правому концу промежутка значения растут, а к левому — убывают без границы.

Остальные ветви получаются переносом первой на π влево и вправо, потому что значения функции через такой промежуток повторяются. Границы ветвей имеют вид x = π/2 + πk и являются вертикальными асимптотами — прямыми, к которым график приближается, но не пересекает их. На самих прямых функция не определена, поэтому соединять через них соседние ветви нельзя.

На каждой ветви график поднимается слева направо, значит, функция возрастает на каждом промежутке определения. Любое действительное значение y достигается: на одной ветви тангенс меняется от −∞ до +∞. Кроме того, tg(−x) = −tg x, поэтому функция нечётная, а её график симметричен относительно начала координат. Эти свойства видны на графике и следуют из свойств синуса и косинуса.

Основные свойства функции y = tg x

Таблица помогает быстро проверить, допустим ли аргумент, и определить, где находятся нули и асимптоты. При построении графика используйте период π, а при сравнении значений — возрастание на каждой отдельной ветви. Обозначение Z означает множество целых чисел.

Разбор задач

1. Значения тангенса

Найдите tg x и укажите, определено ли значение, если x = π/4, π/2, −π/3. Сначала проверим, не является ли аргумент точкой, где косинус равен нулю, а затем используем значения стандартных углов.

1. При x = π/4 имеем sin x = √2/2 и cos x = √2/2. Поэтому tg(π/4) = 1.
2. При x = π/2 косинус равен нулю. Делить на него нельзя, значит, значение тангенса не определено.
3. При x = −π/3 имеем sin x = −√3/2 и cos x = 1/2. Тогда tg(−π/3) = (−√3/2) / (1/2) = −√3.

Ответ: tg(π/4) = 1; tg(π/2) не определён; tg(−π/3) = −√3. Проверка области определения особенно важна до вычисления дроби.

2. График на отрезке [−π; π]

Постройте y = tg x на указанном отрезке, укажите нули и вертикальные асимптоты. Сначала отметим точки разрыва и только после этого нанесём части графика, лежащие между ними.

1. Из равенства x = π/2 + πk выбираем значения внутри отрезка: −π/2 и π/2. Проводим через них вертикальные асимптоты, не включая эти точки в график.
2. Нули задаются формулой x = πk. На отрезке это −π, 0 и π, поэтому график пересекает ось x в точках (−π; 0), (0; 0), (π; 0).
3. Строим ветви между асимптотами с учётом периода π и возрастания. В частности, на центральной ветви отмечаем (−π/4; −1), (0; 0), (π/4; 1); соседние участки заканчиваются точками пересечения с осью на границах отрезка.

Ответ: нули −π, 0, π; асимптоты x = −π/2 и x = π/2. Ветви не соединяют через асимптоты.

3. Уравнение tg x = √3

Решите уравнение на промежутке [−π; 2π]. Значение √3 тангенс принимает при x = π/3 на одной ветви; из-за периода π к этому углу нужно прибавлять все целые кратные π.

1. Записываем общее решение: x = π/3 + πk, где k ∈ Z.
2. Требуем, чтобы −π ≤ π/3 + πk ≤ 2π. После деления на π получаем −1 ≤ 1/3 + k ≤ 2, откуда −4/3 ≤ k ≤ 5/3.
3. Подходящие целые значения k: −1, 0, 1. Подставляем их в формулу общего решения.

Ответ: x = −2π/3, π/3, 4π/3. Проверка границ отрезка не добавляет новых корней.

Типичные ошибки

Включать x = π/2 + πk в область определения нельзя: при этих аргументах cos x = 0, а тангенс — дробь с косинусом в знаменателе. Такую ошибку часто допускают, запоминая общую формулу и забывая проверить знаменатель. Для самопроверки подставьте спорное значение в cos x: если получился ноль, аргумент исключается.

Период тангенса иногда считают равным 2π, потому что такой период есть у синуса и косинуса. Но одинаковая смена знаков числителя и знаменателя при сдвиге на π сохраняет их отношение. Проверьте формулу tg(x + π) = tg x: она сразу показывает, что период π; именно он является наименьшим положительным периодом.

При построении графика нельзя соединять соседние ветви через x = π/2 + πk. Эти точки не входят в область определения, а график приближается там к вертикальным асимптотам. Ошибка возникает, если воспринимать линию графика как непрерывную без проверки допустимых x. Проведите асимптоты и убедитесь, что ветви остаются по разные стороны от них.

Нечётность не означает убывание функции: это свойство описывает симметрию графика относительно начала координат. Тангенс при этом возрастает на каждом промежутке определения, хотя между разными ветвями сравнивать его как одну непрерывную функцию нельзя. Проверить себя можно по равенству tg(−x) = −tg x и по направлению ветви слева направо.

Связь с другими темами

Для работы с тангенсом нужно знать определения синуса и косинуса, значения этих функций для стандартных углов и радианную меру. Именно из отношения синуса к косинусу получаются значения тангенса и его ограничения. Поэтому полезно уметь переводить знакомые углы в радианы и находить для них синус и косинус.

При изучении функции используются периодичность и чётность тригонометрических функций, а также навыки чтения графиков. Понимание симметрии помогает строить график, а периодичность — продолжать его за пределы одной ветви. Эти же свойства встречаются у других тригонометрических функций, хотя их графики устроены по-разному.

График тангенса пригодится при решении тригонометрических уравнений и неравенств. По нему можно увидеть, где функция принимает нужное значение и как меняется на каждом промежутке. При поиске решений необходимо учитывать период и не включать точки, в которых тангенс не определён.

Что запомнить

• tg x = sin x / cos x при cos x ≠ 0.
• Область определения: x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.
• Область значений функции y = tg x — все действительные числа.
• Наименьший положительный период тангенса равен π.
• Функция y = tg x нечётная.
• Функция возрастает на каждом промежутке (−π/2 + πk; π/2 + πk).
• Нули функции: x = πk, где k ∈ Z.