4.1.5.* Иррациональность чисел а^(1/n)

Определения и обозначения

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, которое при возведении в степень n даёт a; его обозначают a^(1/n). Например, 16^(1/2) = 4, потому что 4² = 16. Такая запись позволяет работать с корнями как со степенями, а задача темы — выяснить, когда результат можно записать дробью.

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби p/q, где p и q — целые числа, а q ≠ 0. Например, 3/4 и −5 = −5/1 рациональны. Это определение нужно, чтобы точно сформулировать вопрос: является ли корень обычной дробью, даже если его значение сразу не видно.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить дробью p/q с целыми p и q при q ≠ 0. К таким числам относится √2: никакая точная дробь не равна этому числу. Если корень из целого числа не получается целым, нужно ещё доказать, что он не может быть другой рациональной дробью.

Совершенная n-я степень — натуральное число, равное bⁿ для некоторого натурального b. Например, 81 — совершенная четвёртая степень, так как 81 = 3⁴, а 12 не является квадратом целого числа. Это понятие даёт удобный критерий: для положительного целого a корень a^(1/n) рационален ровно тогда, когда a — совершенная n-я степень.

Как это устроено

Чтобы решить, рационально ли a^(1/n), удобно сначала спросить, является ли a совершенной n-й степенью. Если a = bⁿ для целого b, то a^(1/n) = b, поэтому корень рационален. Обратное тоже верно для положительного целого a: если корень рационален, он обязан быть целым. Значит, проверка совершенной степени охватывает оба случая, а не только поиск очевидного целого корня.

Докажем, почему рациональный корень из целого числа не может быть дробью с ненулевым знаменателем больше единицы. Пусть a^(1/n) = p/q, где дробь несократима и q > 0. Тогда pⁿ = aqⁿ, то есть каждый простой множитель q должен содержаться в pⁿ, а значит, содержится и в p. Но тогда p и q имеют общий множитель, вопреки несократимости дроби. Следовательно, q = 1, и корень — целое число.

Разложите a на простые множители: a = p₁^k₁ · … · pᵣ^kᵣ, где pᵢ — простые числа, а kᵢ — их показатели. Если a = bⁿ, то в разложении b каждый показатель при возведении в степень n умножается на n. Поэтому все kᵢ должны делиться на n. И наоборот, если все показатели кратны n, можно разделить их на n и получить целое b, для которого a = bⁿ.

Если хотя бы один показатель не делится на n, число a не является совершенной n-й степенью. Тогда корень не может быть целым, а доказательство с несократимой дробью исключает и любой другой рациональный вариант. Значит, a^(1/n) иррационально. Например, в разложении 12 = 2² · 3 показатель 1 при множителе 3 не делится на 2, поэтому √12 иррационально.

Для упрощения корня отделите полные n-е степени. Например, 72 = 2³ · 3² = 2² · 18, поэтому √72 = 2√18; можно упростить дальше, поскольку 18 = 9 · 2, и получить 6√2. Важно различать рациональность всего корня и наличие множителей, которые можно вынести: вынесение полного квадрата само по себе не делает оставшийся корень рациональным. Проверяйте показатели простых множителей, а не делимость числа a на n.

Рациональность числа a^(1/n) по разложению числа a

Сначала разложите положительное целое a на простые множители, затем сравните каждый показатель с n. Если все показатели кратны n, корень целый; если один не кратен — иррациональный. Таблица предполагает n > 1 и арифметический корень из положительного числа.

Разбор задач

Задача 1. Определить, рационально ли число 81^(1/4). Ищем, можно ли представить 81 как четвёртую степень целого числа. Разложение 81 = 3⁴ сразу показывает такой вид, поэтому вычисление корня точное.

1. Представим 81 в виде степени простого числа: 81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴. Показатель 4 делится на показатель корня 4. Значит, 81 — совершенная четвёртая степень.
2. Из равенства 81 = 3⁴ следует, что 81^(1/4) = 3. Проверка: 3⁴ = 81. Число 3 целое, поэтому оно рационально.

Ответ: число рационально и равно 3.

Задача 2. Доказать, что число 12^(1/2) иррационально. Одного утверждения «12 не является квадратом» недостаточно, пока не исключён рациональный нецелый корень. Разложим число на простые множители, а затем при желании проверим вывод доказательством от противного через несократимую дробь.

1. Разложим 12: 12 = 2² · 3. Показатель множителя 3 равен 1 и не делится на 2, поэтому 12 не является совершенным квадратом. Значит, √12 не целое число.
2. Предположим, что √12 = p/q, где p/q — несократимая дробь и q > 0. Возведём в квадрат: p² = 12q² = 2² · 3 · q². В правой части показатель простого множителя 3 нечётный, тогда как в p² показатель каждого простого множителя чётный, что невозможно.
3. Предположение о рациональности привело к противоречию. Следовательно, √12 нельзя представить дробью с целыми числителем и знаменателем. Это и означает, что число иррационально.

Ответ: 12^(1/2) — иррациональное число.

Задача 3. При каких натуральных m число (2ᵐ · 3⁶)^(1/3) будет рациональным? Подкоренное число уже записано через простые множители. Для рациональности кубического корня каждый показатель должен делиться на 3, поэтому условие проверяется отдельно для степеней 2 и 3.

1. Показатель числа 3 равен 6, и 6 делится на 3. Это условие выполнено при любом m. Показатель числа 2 равен m, поэтому он тоже должен быть кратен 3.
2. Положим m = 3k, где k — натуральное число. Тогда 2ᵐ · 3⁶ = 2^(3k) · 3⁶ = (2ᵏ · 3²)³. Кубический корень равен 2ᵏ · 3² и является целым числом.
3. Если m не делится на 3, показатель множителя 2 не кратен 3, а подкоренное число не является совершенным кубом. По критерию рационального корня результат в таком случае иррационален.

Ответ: m должно делиться на 3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любой корень из целого числа иррациональным. Так думают, если ориентируются только на вид записи с корнем и забывают проверить, не является ли число точной степенью. Например, 64^(1/3) = 4, поэтому корень рационален. Для проверки возведите предполагаемый целый корень в нужную степень.

Ошибка: проверять делимость самого числа на n. Этот признак относится не к числу целиком, а к показателям его простых множителей. Например, 8 не делится на 3, но 8 = 2³ и кубический корень рационален. Разложите число на простые множители и проверяйте кратность каждого показателя.

Ошибка: считать, что рациональное число под корнем обязательно даёт рациональный корень. Например, число 2 рационально, но √2 иррационально. Рациональность подкоренного числа сама по себе ничего не доказывает: применяйте критерий совершенной n-й степени, когда под корнем положительное целое число.

Ошибка: применять признак без проверки условий. Арифметический корень чётной степени из отрицательного числа не является действительным числом, а потому рассуждение о его рациональности в действительных числах неприменимо. Проверяйте знак подкоренного числа и значение n до разложения на множители. Для отрицательных чисел и нечётных корней отдельно учитывайте знак и область определения.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения рациональных и иррациональных чисел, свойства степеней и умение раскладывать натуральное число на простые множители. Знание записи a^(1/n) связывает корни с дробными показателями степени и помогает упрощать выражения, вынося полные n-е степени из-под корня. Критерий пригодится при доказательстве иррациональности конкретных чисел. Он также помогает исследовать степенные функции, значения которых связаны с корнями.

Что запомнить

• Для положительного целого a и n > 1 число a^(1/n) рационально тогда и только тогда, когда a — совершенная n-я степень.
• Рациональный корень из положительного целого числа является целым.
• В разложении совершенной n-й степени показатели всех простых множителей кратны n.
• Если хотя бы один показатель не кратен n, корень иррационален.
• Перед применением признака проверьте знак подкоренного числа и значение n.
• Полные n-е степени можно вынести из-под корня.
• Основной способ проверки рациональности корня — разложение числа на простые множители.