§ 2. Решение простейших иррациональных уравнений и неравенств

Определения и обозначения

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная содержится под знаком корня, например √(x + 1) = 3. В обычных линейных или квадратных уравнениях неизвестную можно преобразовывать алгебраическими правилами без особой проверки знака корня. Здесь же сначала учитывают, когда корень определён, а после возведения в квадрат проверяют полученные значения. Это помогает не принять лишнее значение за ответ.

Иррациональное неравенство — неравенство, в котором неизвестная содержится под знаком корня, например √(x + 2) ≤ x. При его решении нужно не только сравнить выражения, но и установить, при каких значениях переменной корень существует. Кроме того, порядок чисел при возведении в квадрат сохраняется не всегда. Поэтому решение начинают с ограничений и анализа знаков.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — все значения переменной, при которых выражения под квадратными корнями неотрицательны. Например, для √(x − 4) необходимо x − 4 ≥ 0, то есть x ≥ 4. Если забыть это ограничение, можно получить значение, при котором исходное выражение вообще не определено. Поэтому ОДЗ учитывают до преобразований и проверяют при записи ответа.

Посторонний корень — найденное значение, которое не удовлетворяет исходному уравнению. Он может появиться, если возвести обе части в квадрат: при этом теряется информация о знаках, ведь числа 3 и −3 имеют одинаковые квадраты. Полученное уравнение может иметь больше решений, чем исходное. Чтобы убрать посторонние корни, найденные значения проверяют в первоначальном условии.

Как это устроено

Сначала устанавливают ограничения на подкоренные выражения: квадратный корень определён только из неотрицательного числа. Если уравнение имеет вид √f(x) = g(x), дополнительно требуется g(x) ≥ 0. Причина в том, что значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому отрицательная правая часть не может быть равна ему. Эти условия фиксируют допустимые значения до того, как преобразование изменит вид уравнения.

Уравнение √f(x) = g(x) превращают в систему f(x) = g²(x), g(x) ≥ 0. Возведение в квадрат даёт равенство квадратов, но само по себе не отличает число от противоположного ему числа. Условие g(x) ≥ 0 сохраняет нужный знак и не позволяет принять решение квадратного уравнения за решение исходного без проверки. В систему также включают ОДЗ, если она не следует из записанных условий.

Если равны два квадратных корня, то каждый из них уже неотрицателен при допустимых значениях переменной. Поэтому √f(x) = √g(x) равносильно f(x) = g(x), если одновременно f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Здесь можно перейти к равенству подкоренных выражений, потому что квадратный корень принимает одинаковые значения у одинаковых неотрицательных чисел. Ограничения нужны, чтобы оба корня существовали.

В неравенствах вида √f(x) ? g(x) нужно разделить случаи по знаку g(x). Если правая часть отрицательна, неотрицательный корень заведомо больше неё; если правая часть неотрицательна, сравнение можно свести к сравнению квадратов. Для строгого знака < требуется g(x) > 0, а для ≤ — g(x) ≥ 0, иначе корень не может оказаться меньше правой части. При знаках > и ≥ отрицательная правая часть, наоборот, сразу даёт верное сравнение для всех допустимых x.

После преобразования решают полученное уравнение или систему, затем оставляют только значения, которые удовлетворяют ограничениям. Если исходное уравнение возводили в квадрат, полезно подставить каждый кандидат именно в исходную запись: это обнаруживает посторонние корни. Для неравенства проверяют, что значение принадлежит найденному множеству и удовлетворяет исходному сравнению. Такой финальный шаг завершает решение, а не заменяет учёт ОДЗ.

Основные формы простейших уравнений и неравенств с квадратными корнями

В таблице f(x) и g(x) обозначают выражения, а ОДЗ означает область допустимых значений. Сначала выбери строку с нужным знаком, затем выпиши все условия из неё и реши их одновременно. Нельзя пропускать проверку знаков: именно она определяет, можно ли перейти к сравнению квадратов.

Разбор задач

Решить уравнение √(x + 1) = 3.

1. Проверим ОДЗ: x + 1 ≥ 0, значит, x ≥ −1. Правая часть равна 3 и неотрицательна, поэтому уравнение можно возвести в квадрат.
2. Получаем x + 1 = 9, откуда x = 8. Это единственный кандидат, найденный из преобразованного уравнения.
3. Подставим его в исходную запись: √(8 + 1) = √9 = 3. Значение допустимо и подходит.

Ответ: x = 8.

Решить уравнение √(2x − 1) = x − 2.

1. Из подкоренного выражения следует 2x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ ½. Но правая часть тоже должна быть неотрицательной: x − 2 ≥ 0, значит, x ≥ 2. Это ограничение нужно учесть до возведения в квадрат.
2. Возведём обе части в квадрат: 2x − 1 = (x − 2)². После раскрытия скобок получаем x² − 6x + 5 = 0, то есть (x − 1)(x − 5) = 0. Кандидаты — 1 и 5.
3. Условию x ≥ 2 не подходит 1, поэтому остаётся 5. Проверка в исходном уравнении: √9 = 3 и 5 − 2 = 3.

Ответ: x = 5.

Решить неравенство √(x + 2) ≤ x.

1. Корень существует при x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ −2. Но для сравнения √(x + 2) ≤ x правая часть должна быть неотрицательной, поэтому добавляем x ≥ 0. Вместе условия дают x ≥ 0.
2. Теперь обе части неотрицательны, и можно возвести их в квадрат: x + 2 ≤ x². Перенесём всё в одну сторону: x² − x − 2 ≥ 0, или (x − 2)(x + 1) ≥ 0. Отсюда x ≤ −1 или x ≥ 2.
3. Пересечём это множество с условием x ≥ 0. Остаётся x ≥ 2; при этих значениях исходный корень определён и сравнение выполнено.

Ответ: x ∈ [2; +∞).

Типичные ошибки

Ошибка — возводить уравнение в квадрат, не проверив знак правой части. Так делают, потому что квадрат кажется способом убрать корень, но он стирает различие между положительным и отрицательным числами. Перед преобразованием проверь условие g(x) ≥ 0, а после решения подставь кандидаты в исходное уравнение.

Ошибка — забыть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Тогда в ответ могут попасть значения, при которых выражение с корнем не определено. Чтобы проверить себя, выпиши ОДЗ в начале решения и сравни с ней каждый кандидат или найденный промежуток.

Ошибка — возводить обе части неравенства в квадрат без проверки их знаков. Если сравниваются числа разных знаков, их квадраты могут изменить порядок, поэтому полученное сравнение будет ненадёжным. Сначала разбей решение на случаи по знаку правой части; возводи в квадрат только при согласованных знаках.

Ошибка — считать каждый корень преобразованного уравнения ответом. Возведение в квадрат могло дать постороннее значение, хотя само преобразование выполнено правильно. Проверка проста: подставь найденное число в исходное условие и исключи его, если равенство или неравенство не выполняется.

Связь с другими темами

Для решения этой темы нужны навыки нахождения ОДЗ выражений с квадратными корнями. Также пригодятся умения решать линейные и квадратные уравнения и неравенства, поскольку именно к ним часто сводятся преобразования. Без этих знаний проверить ограничения и довести решение до ответа будет трудно.

Правила решения опираются на свойства квадратного корня и сравнение чисел при возведении в квадрат. Квадратный корень неотрицателен, а порядок чисел сохраняется при возведении в квадрат только при подходящих знаках. Эти свойства объясняют, почему сначала рассматривают ограничения и знаки, а уже потом преобразуют выражения.

Те же приёмы используются в более сложных иррациональных уравнениях и неравенствах, где корней может быть несколько или выражения устроены сложнее. Они также помогают исследовать функции с корнями: определять, где функция задана, и сравнивать её значения. Поэтому проверка ОДЗ и знаков становится основой дальнейшей работы с такими выражениями.

Что запомнить

• Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.
• Из √f(x) = g(x) следует g(x) ≥ 0.
• При возведении уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни.
• Сравнивать квадраты можно только после проверки знаков сравниваемых выражений.
• Для неравенств с корнем сначала учитывают область допустимых значений.
• Найденные решения проверяют по исходному уравнению или неравенству.