2.1.3. Основные свойства функции

Определения и обозначения

Нуль функции — значение аргумента x₀, при котором f(x₀) = 0. На графике ему соответствует точка (x₀; 0), то есть пересечение графика с осью Ox; нулей может быть несколько или не быть вовсе. Это понятие нужно, чтобы находить решения уравнения f(x) = 0.

Промежуток знакопостоянства — промежуток, внутри которого функция сохраняет один знак. Если f(x) > 0, значения положительные, а если f(x) < 0 — отрицательные. Такие промежутки помогают понять, какие решения имеет неравенство и где график расположен относительно оси Ox.

Функция возрастает на промежутке, если при любых x₁ < x₂ из него f(x₁) < f(x₂); убывает, если f(x₁) > f(x₂). Иными словами, при движении слева направо график поднимается или опускается. Монотонность показывает, как меняется функция, и помогает сравнивать её значения.

Наибольшее значение функции на заданном множестве — значение, которое не меньше любого другого значения на этом множестве; наименьшее — значение, которое не больше остальных. Они могут достигаться в разных точках, а могут не существовать. Указание множества аргументов необходимо: на разных промежутках крайние значения функции могут отличаться.

Как это устроено

Чтобы найти нули по графику, ищут его пересечения с осью Ox и считывают абсциссы точек пересечения. Абсцисса — это первая координата точки, поэтому нулём будет x₀, а не сама точка (x₀; 0). Между соседними нулями график обычно остаётся либо выше оси Ox, либо ниже неё: перейти из одной области в другую, не коснувшись оси, непрерывный график не может. На выбранном промежутке достаточно определить знак хотя бы в одной внутренней точке, если график там непрерывен.

Сравнение значений в двух точках задаёт монотонность: при x₁ < x₂ увеличение f(x) означает возрастание, а уменьшение — убывание. Проверять нужно любые две точки рассматриваемого промежутка, не только соседние на рисунке. Свойство исследуют отдельно на промежутках, потому что функция может менять направление: например, f(x) = x² убывает слева от нуля и возрастает справа. Говорить о возрастании на всей области определения в таком случае нельзя.

Наибольшее или наименьшее значение сравнивают со всеми значениями функции на указанном множестве. Локальный максимум или минимум сравнивают только со значениями вблизи точки, поэтому локальный максимум может быть меньше значения функции далеко от неё. При поиске наибольшего или наименьшего значения на отрезке проверяют важные точки, где меняется поведение функции, и концы отрезка. Без заданного множества ответ может быть неполным или неверным.

Чётность и нечётность определяются по равенствам: чётная функция удовлетворяет f(−x) = f(x), нечётная — f(−x) = −f(x). Для таких проверок вместе с каждым x в области определения должно быть и число −x. В первом случае точки графика с противоположными абсциссами имеют одинаковые ординаты, поэтому график симметричен относительно оси Oy. Во втором ординаты противоположны, а график симметричен относительно начала координат.

Функция периодична, если существует одно и то же положительное число T, для которого f(x + T) = f(x) при всех допустимых x. Значит, при сдвиге аргумента на T значения функции повторяются, и рисунок графика воспроизводится. Период не обязан быть наименьшим: если T — период, то при подходящих условиях его целые положительные кратные тоже являются периодами. Для ответа достаточно назвать один период, если не спрашивают наименьший.

Основные свойства функции и способы их распознавания

Сначала определите, какое свойство требуется найти, и выберите нужный признак: например, пересечения с Ox для нулей или сравнение значений для монотонности. По рисунку можно сформулировать предположение, а точную запись делают с указанием значений аргумента и нужного промежутка. Для чётности и периодичности график помогает увидеть закономерность, но равенства из определений подтверждают её строго.

Разбор задач

Задача 1. По условному графику, который пересекает ось Ox при x = −2 и x = 1, определить нули и промежутки положительности и отрицательности. Предположим, что между точками пересечения график расположен выше оси, а снаружи — ниже. Знаки считывают по расположению графика относительно Ox, а не по направлению его движения.

1. Абсциссы пересечений с осью — −2 и 1, поэтому это нули функции.
2. На промежутке (−2; 1) график выше Ox, значит, f(x) > 0.
3. Слева от −2 и справа от 1 график ниже Ox, значит, f(x) < 0. Сами нули в промежутки строгой положительности и отрицательности не входят.

Ответ: нули −2 и 1; функция положительна на (−2; 1), отрицательна на (−∞; −2) и (1; +∞).

Задача 2. Для f(x) = x² − 4 на отрезке [−3; 2] найти нули, промежутки знакопостоянства и наименьшее значение. Сначала выясним, где выражение обращается в ноль, затем определим знак множителей и сравним значения в корнях и на концах отрезка. Проверка границ нужна, поскольку отрезок включает их.

1. Разложим: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Нули: x = −2 и x = 2, оба лежат на отрезке.
2. При −3 ≤ x < −2 оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно. При −2 < x < 2 множители разных знаков, функция отрицательна; при x = −2 и x = 2 она равна нулю.
3. Сравним значения в нулях и на концах: f(−3) = 5, f(−2) = 0, f(2) = 0. Между корнями x² − 4 отрицательно, причём f(0) = −4; для квадратичной функции вершина находится при x = 0, это наименьшее значение на отрезке.

Ответ: нули −2 и 2; положительна на [−3; −2), отрицательна на (−2; 2), наименьшее значение равно −4.

Задача 3. Исследовать f(x) = |x| на множестве всех действительных чисел: определить чётность, промежутки монотонности, нули и наименьшее значение. Модуль числа равен расстоянию от него до нуля, поэтому при смене знака аргумента его значение не меняется. Чтобы установить монотонность, отдельно рассмотрим левую и правую части графика.

1. Для любого x: f(−x) = |−x| = |x| = f(x). Область определения симметрична относительно нуля, значит, функция чётная.
2. При x ≤ 0, если x₁ < x₂, то |x₁| > |x₂|: функция убывает на (−∞; 0]. При x ≥ 0 модуль совпадает с x, поэтому функция возрастает на [0; +∞).
3. Равенство |x| = 0 выполняется только при x = 0. Модуль не бывает отрицательным, а в нуле достигает 0.

Ответ: функция чётная, убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞), имеет нуль x = 0 и наименьшее значение 0.

Типичные ошибки

Нуль функции иногда принимают за точку пересечения с осью Ox. Ошибка возникает из-за того, что на графике обе величины связаны: нулём является абсцисса x₀, а точка имеет координаты (x₀; 0). Проверьте запись: нуль должен быть числом, для которого f(x₀) = 0.

Промежуток знакопостоянства нельзя назначать, не проверив знак внутри него. Нули могут разделять участки с разными знаками, а точка, где функция не определена, тоже может разделить область определения. Подставьте пробное значение из каждого промежутка или посмотрите, по какую сторону Ox находится график.

Бывает, что функцию называют возрастающей или убывающей на всей области определения, хотя направление меняется. Так ошибаются, ориентируясь на общий вид графика или на один участок. Сравните значения при x₁ < x₂ и укажите именно тот промежуток, где неравенство выполняется для любых двух аргументов.

Локальный максимум часто путают с наибольшим значением. Локальный максимум сравнивает значение лишь с близкими, а наибольшее — со всеми значениями на заданном множестве. Чтобы проверить ответ, просмотрите весь этот промежуток, включая его границы, и убедитесь, что ни одно значение не больше найденного.

Связь с другими темами

Для чтения свойств нужно уметь находить область определения и множество значений функции, читать координаты точек и отмечать промежутки на числовой прямой. Эти знания помогают не включить в ответ недопустимые аргументы и правильно записать границы. Свойства функции используют при построении и исследовании графиков, а также при графическом решении уравнений и неравенств: пересечения, знаки и направление изменения помогают анализировать число и расположение решений.

Что запомнить

• Нуль функции — аргумент, при котором значение функции равно нулю.
• Знак функции на промежутке определяют по значениям функции внутри этого промежутка.
• Возрастание и убывание сравнивают при любых двух аргументах из рассматриваемого промежутка.
• Наибольшее и наименьшее значения всегда относятся к указанному множеству аргументов.
• График чётной функции симметричен относительно оси Oy.
• График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
• Период функции — положительное число, через которое значения функции повторяются.