§ 2. Исследование функций и построение графиков

Определения и обозначения

Функция — соответствие, при котором каждому допустимому значению аргумента x соответствует единственное значение y. Запись y = f(x) означает, что число f(x) — это значение функции f при выбранном x. Так обозначают зависимость между величинами и могут по формуле находить y для разных x.

Область определения функции — все значения аргумента, для которых функция задана. Её обычно обозначают D(f). Зная область определения, мы понимаем, какие x можно подставлять в формулу и где график вообще может существовать.

Функция возрастает на промежутке, если при увеличении x её значения увеличиваются; убывает, если значения уменьшаются. Эти свойства называют монотонностью функции. Они показывают, в каком направлении движется график слева направо, и помогают находить его характерные участки.

Экстремумы — точки локального максимума и минимума: вблизи точки максимума функция принимает наибольшие значения, а вблизи точки минимума — наименьшие. Слово «локальный» означает, что сравнение проводят только с достаточно близкими значениями. Экстремумы помогают описать повороты графика и понять, где меняется его поведение.

Как это устроено

Исследование начинают с области определения, потому что сначала нужно выяснить, где формула вообще имеет смысл. Например, делить на ноль нельзя, поэтому значения x, обращающие знаменатель в ноль, исключают. При извлечении квадратного корня из выражения это выражение должно быть неотрицательным. Если пропустить ограничения, можно включить в ответ точки, которым не соответствует значение функции.

Затем находят нули — решают уравнение f(x) = 0. Нули показывают, где график пересекает ось x, а вместе с точками, исключёнными из области определения, делят числовую прямую на промежутки. На каждом таком промежутке знак функции не меняется без прохождения через ноль, поэтому достаточно проверить по одному значению. Так выясняют, где график расположен выше оси x, а где — ниже.

Чётность или нечётность проверяют подстановкой −x вместо x и сравнением полученного выражения с f(x) и −f(x). Для такого сравнения область определения должна быть симметрична относительно нуля: если допустимо x, должно быть допустимо и −x. При равенстве f(−x) = f(x) график симметричен относительно оси y; при равенстве f(−x) = −f(x) — относительно начала координат. Симметрия позволяет строить одну часть графика и восстанавливать другую.

Промежутки возрастания и убывания описывают, как меняется график при движении слева направо. Если функция сначала возрастает, а затем убывает, точка смены поведения может быть максимумом; переход от убывания к возрастанию указывает на возможный минимум. Чтобы назвать такую точку экстремумом, нужно установить смену характера изменения, а не просто заметить изгиб на приблизительном рисунке. Промежутки монотонности поэтому помогают и построить график, и проверить его форму.

Когда свойства собраны, их используют вместе: отмечают нули и экстремумы, учитывают симметрию и намечают поведение графика на каждом промежутке. Затем проверяют набросок по контрольным значениям функции. Один отдельно найденный факт не задаёт весь график: например, нули не сообщают, где находятся максимумы или как быстро меняются значения. Сочетание свойств позволяет получить более точный и согласованный рисунок.

Свойства функции и их отражение на графике

Пользуйтесь таблицей как планом: сначала исследуйте формулу, затем для каждого свойства отмечайте соответствующий признак на графике. Область определения и множество значений не смешивайте: первая относится к x, второе — к y. Несколько свойств вместе дают более надёжный набросок, чем одна-две вычисленные точки.

Разбор задач

1. Функция y = x² − 4

Условие. Найдите область определения, нули, промежутки знакопостоянства и ось симметрии функции y = x² − 4; набросайте график. Сначала заметим, что это квадратный трёхчлен, а значит, его удобно разложить на множители и проверить поведение при замене x на −x. Так мы получим и точки пересечения с осью x, и симметрию.

1. Выражение x² − 4 определено при любом действительном x, поэтому область определения — все действительные числа.
2. Разложим: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Из равенства произведения нулю получаем нули x = −2 и x = 2.
3. Между нулями, например при x = 0, значение равно −4, то есть отрицательно. При x = 3 значение положительно; следовательно, функция положительна при x < −2 и x > 2, а отрицательна при −2 < x < 2.
4. Проверим симметрию: f(−x) = (−x)² − 4 = x² − 4 = f(x). Значит, функция чётная, а её график симметричен относительно оси y.
5. График — парабола с ветвями вверх: квадрат x неотрицателен и растёт при удалении от нуля. Отметьте нули −2 и 2 и нижнюю точку (0; −4), затем проведите симметричную плавную кривую.

Ответ. Область определения: все действительные числа; нули: −2 и 2; функция положительна при x < −2 и x > 2, отрицательна при −2 < x < 2. Ось симметрии — ось y, график — парабола с минимумом в точке (0; −4).

2. Функция y = (x + 1)/(x − 2)

Условие. Укажите область определения, нули и знаки функции. Здесь особенно важно не включить значение, при котором знаменатель равен нулю: в этой точке дробь не определена. После этого числитель и знаменатель зададут границы промежутков, на которых проверим знак.

1. Решаем x − 2 = 0 и исключаем x = 2. Область определения — все действительные числа, кроме 2.
2. Нуль дроби возникает, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Из x + 1 = 0 получаем x = −1.
3. Точки −1 и 2 делят прямую на три промежутка: (−∞; −1), (−1; 2) и (2; +∞). Проверяем знаки множителей x + 1 и x − 2 на каждом из них.
4. При x = −2 числитель и знаменатель отрицательны, поэтому дробь положительна. При x = 0 числитель положителен, знаменатель отрицателен, поэтому дробь отрицательна; при x = 3 оба положительны, и дробь положительна.

Ответ. Область определения: x ≠ 2; нуль: x = −1. Функция положительна на (−∞; −1) и (2; +∞), отрицательна на (−1; 2).

3. Свойства по графику

Условие. По графику функции определите область определения и множество значений, нули, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума. Численного графика в условии нет, поэтому здесь важен порядок чтения: сначала рассматривают координаты точек, а затем изменение линии. Это позволяет не перепутать аргументы и значения функции.

1. Спроецируйте график на ось x: все значения x, над которыми есть точки графика, образуют область определения. Проекция на ось y даёт множество значений функции.
2. Найдите пересечения с осью x и запишите их абсциссы — это нули. На участках выше и ниже оси x функция соответственно положительна и отрицательна.
3. Двигайтесь взглядом слева направо: восходящие участки соответствуют возрастанию, нисходящие — убыванию. Записывайте промежутки именно по оси x.
4. Вершина, где подъём сменяется спуском, является точкой максимума; где спуск сменяется подъёмом — точкой минимума. Для ответа укажите координаты этих точек.

Ответ. Свойства считывают с самого графика: область определения и нули — по оси x, множество значений — по оси y, монотонность — по направлению линии слева направо, экстремумы — по местам смены подъёма и спуска. Численные значения зависят от конкретного графика.

Типичные ошибки

В область определения иногда включают значение, при котором знаменатель равен нулю. Так происходит, если смотреть только на общую форму дроби и не проверять исходную формулу; подстановка запрещённого значения покажет деление на ноль. Перед ответом выпишите все ограничения и убедитесь, что ни одно из них не осталось в области определения.

Нуль функции путают с нулём аргумента, то есть с x = 0. Но нуль функции — это такое значение x, при котором f(x) = 0, и оно может быть любым числом; например, для x² − 4 нули равны −2 и 2. Проверка простая: подставьте найденный x в функцию и убедитесь, что результат равен нулю.

Чётность или нечётность иногда определяют лишь на глаз по наброску графика. Приблизительный рисунок может быть неточным, поэтому симметрия сама по себе не доказывает нужное свойство. Проверьте, симметрична ли область определения относительно нуля, а затем вычислите f(−x) и сравните с f(x) и −f(x).

Любой изгиб графика могут принять за экстремум. Однако точка максимума или минимума связана со сменой возрастания на убывание либо убывания на возрастание, а не просто с поворотом линии на рисунке. Проследите за поведением функции с обеих сторон точки и только после этого называйте её экстремумом.

Связь с другими темами

Для исследования функций нужны навыки, изученные раньше: определение допустимых значений выражений, решение уравнений и неравенств, построение знакомых графиков. Например, чтобы найти нули, решают уравнение f(x) = 0, а чтобы определить знак, исследуют неравенство f(x) > 0 или f(x) < 0. Чем увереннее эти действия, тем легче читать свойства функции и строить её график.

Найденные свойства помогают решать уравнения и неравенства графическим способом: решения связывают с пересечениями графиков или участками, где функция принимает нужные значения. По графику также удобно сравнивать значения функции и находить, где она возрастает или убывает. Эти умения станут основой для исследования более сложных функций.

Что запомнить

• Область определения состоит из допустимых значений аргумента.
• Нули функции находят из уравнения f(x) = 0.
• Чётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = f(x).
• Нечётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = −f(x).
• Промежутки возрастания и убывания описывают изменение значений функции.
• Экстремумы связаны со сменой характера изменения функции.
• График строят с учётом совокупности найденных свойств, а не по одной характеристике.

Как это устроено