"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Степенная функция имеет вид y = kxⁿ, где k ≠ 0, а n — целое число. Она помогает исследовать, как изменение x влияет на значение функции, и служит основой для построения многих графиков. Главное — учитывать знак и величину коэффициента k, чётность показателя n и его знак: от этого зависят область определения, симметрия, расположение ветвей и наличие асимптот.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенная функция — это функция вида y = kxⁿ, где k — ненулевое число, а n — целый показатель степени. В этом параграфе рассматриваются ненулевые целые показатели: положительные n > 0 и отрицательные n < 0. Такая запись объединяет функции y = 2x², y = −x³ и y = 3/x².
Коэффициент k — постоянный множитель при xⁿ. Он умножает каждое значение базовой функции y = xⁿ: число |k| растягивает или сжимает график по вертикали, а отрицательный знак отражает его относительно оси Ox. Поэтому два графика с одинаковым n могут выглядеть по-разному.
Показатель степени n — целое число, которое определяет вид функции и её область определения. При положительном n получаем обычную степень x, а при отрицательном — дробь 1/x⁻ⁿ. Знание n позволяет заранее понять, будет ли график проходить через начало координат и появятся ли ограничения для x.
Чётная функция удовлетворяет равенству f(−x) = f(x), а нечётная — равенству f(−x) = −f(x). Для степенной функции при чётном n график симметричен относительно оси Oy, а при нечётном n — относительно начала координат. Это свойство сокращает число точек, необходимых для построения.
Начнём с коэффициента. Если сначала построен график y = xⁿ, то для каждого того же x новое значение y = kxⁿ получается умножением ординаты на k. При k > 1 точки удаляются от оси Ox, при 0 < k < 1 приближаются к ней, а при k < 0 меняют сторону относительно этой оси.
При положительном целом n выражение xⁿ можно вычислить для любого действительного x: отрицательное число, ноль и положительное число разрешены. Поэтому область определения функции — все действительные числа. При отрицательном n появляется запись xⁿ = 1/x⁻ⁿ, и значение x = 0 запрещено, потому что знаменатель становится равным нулю.
Симметрию можно получить непосредственно из степени. Если n чётное, то (−x)ⁿ = xⁿ, значит, противоположные значения аргумента дают одинаковые ординаты: f(−x) = f(x). Если n нечётное, то (−x)ⁿ = −xⁿ, поэтому f(−x) = −f(x), что означает симметрию относительно начала координат.
При чётном n число xⁿ неотрицательно: знак x исчезает после возведения в чётную степень. Поэтому при k > 0 график лежит не ниже оси Ox, а при k < 0 — не выше неё. При нечётном n степень сохраняет знак x, но отрицательный k меняет эти знаки на противоположные.
Знак показателя влияет не на симметрию, а на поведение около нуля и на больших расстояниях. При n < 0 функция не определена в нуле, а при приближении x к нулю её значения по модулю растут; при больших |x| они приближаются к нулю. Поэтому оси Oy и Ox становятся асимптотами: график приближается к ним, но не пересекает их.
| Случай | Область определения | Симметрия | Знак значений при k > 0 | Поведение графика |
|---|---|---|---|---|
| n > 0, n чётное | Все действительные x | Относительно оси Oy | y ≥ 0 | Проходит через начало координат; две ветви направлены вверх |
| n > 0, n нечётное | Все действительные x | Относительно начала координат | Знак y совпадает со знаком x | Проходит через начало координат; ветви расположены в I и III четвертях |
| n < 0, n чётное | x ≠ 0 | Относительно оси Oy | y > 0 | Две положительные ветви; оси Ox и Oy — асимптоты |
| n < 0, n нечётное | x ≠ 0 | Относительно начала координат | Знак y совпадает со знаком x | Ветви в I и III четвертях; оси Ox и Oy — асимптоты |
В таблице сначала определите знак и чётность показателя, а затем найдите нужную строку. Если k < 0, знаки значений меняются на противоположные, но область определения и симметрия остаются прежними. Для точного построения дополнительно учитывайте величину |k|.
Нужно построить график и сравнить его с y = x². Показатель n = 2 чётный, а коэффициент k = 2 положительный, поэтому форма и симметрия сохраняются.
Ответ: график y = 2x² получается из y = x² растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Обе параболы имеют вершину в начале координат и симметричны относительно Oy, но новая парабола уже и выше при одинаковых ненулевых x.
Здесь n = 3 — нечётное, а k = −1. Нужно определить область и множество значений, симметрию и точки для построения.
Ответ: D = ℝ, E = ℝ; функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки (−1; 1), (0; 0), (1; −1) и расположен в IV и II четвертях.
Функцию перепишем как y = 3x⁻². Показатель отрицательный и чётный, а коэффициент положительный, поэтому значение функции положительно при каждом допустимом x.
Ответ: D = ℝ без 0, функция чётная, её значения положительны. График состоит из двух ветвей выше оси Ox и приближается к обеим координатным осям, не пересекая их.
Включают x = 0 в область определения при n < 0. Ошибка появляется из-за того, что отрицательную степень не переписывают в виде дроби 1/x⁻ⁿ. Проверка проста: подставьте ноль в знаменатель и убедитесь, что деление на ноль невозможно.
Считают, что при k < 0 все значения функции отрицательны. На самом деле знак зависит ещё от xⁿ: при нечётном n значения могут быть разными по знаку, а при чётном n знак задаётся произведением k на неотрицательное число. Проверьте отдельные случаи x > 0, x = 0 и x < 0.
Путают чётность показателя со знаком показателя. Симметрию определяет то, делится ли n на 2, а не то, положительно оно или отрицательно. Для проверки вычислите f(−x) и сравните результат с f(x) и −f(x).
Переносят свойства y = xⁿ на y = kxⁿ без учёта коэффициента. При отрицательном k график отражается относительно оси Ox, а |k| меняет расстояние точек от этой оси. Поэтому после построения нужно проверить не только форму, но и знак нескольких ординат.
До изучения темы нужны свойства целых степеней, особенно правило x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Также важно уметь находить область определения выражения, исключая значения, при которых появляется деление на ноль.
Для построения графиков понадобятся таблица значений и умение распознавать симметрию относительно оси Oy и начала координат. Эти навыки позволяют строить половину графика, а вторую часть получать отражением.
Степенная функция связана с преобразованиями графиков и рациональными выражениями. Её свойства пригодятся при изучении поведения функций около запрещённых точек и при анализе асимптот.
Почему при отрицательном показателе нельзя подставить x = 0?
При n < 0 выражение xⁿ записывают как 1/x⁻ⁿ. При x = 0 в знаменателе получается ноль, а деление на ноль невозможно.
Как определить, симметричен ли график относительно оси Oy или начала координат?
Нужно сравнить f(−x) и f(x). Если f(−x) = f(x), функция чётная и график симметричен относительно оси Oy; если f(−x) = −f(x), функция нечётная и график симметричен относительно начала координат.
Что изменится в графике, если коэффициент k станет отрицательным?
Все значения функции умножатся на отрицательное число. Поэтому график отразится относительно оси Ox, а его форма и симметрия сохранятся.
Почему при чётном показателе значения xⁿ не бывают отрицательными?
При чётном n степень содержит чётное число множителей x. Для отрицательного x пары множителей дают положительный результат, а при x = 0 значение равно нулю.
Как построить график степенной функции, не вычисляя много значений?
Сначала постройте базовый график y = xⁿ по нескольким удобным точкам. Затем умножьте ординаты на k, при необходимости отразите график относительно оси Ox и используйте симметрию.
4.3.3.* Степенная функция у = kx^n
