4.3.4. Уравнения, содержащие неизвестное в рациональной степени

Определения и обозначения

Степень с рациональным показателем — это степень, показатель которой можно записать дробью m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0: x^(m/n) = (ⁿ√x)^m. Иными словами, сначала извлекают корень n-й степени, а затем возводят результат в целую степень. Если n чётное, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, потому что в действительных числах чётный корень из отрицательного числа не существует.

Уравнение с неизвестным в рациональной степени содержит переменную в одной или нескольких степенях с дробными показателями, например x^(1/3) или x^(5/2). Такие записи часто можно заменить корнями: x^(1/3) = ∛x, а x^(5/2) = (√x)^5. Это позволяет применять знакомые действия с корнями, степенями и квадратными уравнениями.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения неизвестной, при которых каждое выражение уравнения имеет смысл. Для чётного корня подкоренное выражение не меньше нуля, а для отрицательной степени основание не равно нулю. Нахождение ОДЗ нужно, чтобы не рассматривать значения, которые нельзя подставить в исходное уравнение.

Замена переменной — обозначение повторяющейся степени новой буквой. Например, при t = x^(1/3) выражение x^(2/3) превращается в t². Такой приём уменьшает сложность записи и сводит исходное уравнение к квадратному или другому уже знакомому виду.

Как это устроено

Дробный показатель связан с корнем потому, что возведение в степень 1/n является обратным действием к возведению в n-ю степень: x^(1/n) = ⁿ√x. Поэтому x^(m/n) можно понимать как (ⁿ√x)^m или, при корректной области определения, как ⁿ√(x^m). Чётность знаменателя важна: при чётном n корень существует только из неотрицательного числа, а при нечётном n корень определён и для отрицательных чисел.

Решение начинают с ОДЗ, потому что любое преобразование должно выполняться только для выражений, имеющих смысл. Например, в уравнении √(x − 2) = 1 сразу ясно, что x ≥ 2; значения меньше 2 нельзя проверять как решения. Если встречается отрицательная степень, к ограничениям добавляется запрет нулевого основания: x⁻¹ = 1/x не определено при x = 0.

Повторяющиеся рациональные степени позволяют заменить сложную часть записи одной буквой. Если в уравнении есть x^(2/3) и x^(1/3), удобно положить t = x^(1/3), тогда первая степень станет t², а уравнение — квадратным относительно t. После решения нужно вернуться к x и учесть связь x = t³, иначе ответ останется записанным не для исходной переменной.

Возведение обеих частей в степень может упростить корни, но иногда меняет множество решений. Например, из A = B следует A² = B², однако из последнего равенства следует также A = −B. Поэтому после такого преобразования получают кандидатов, а не окончательный ответ: каждый кандидат проверяют в исходном уравнении и в ОДЗ.

Рациональные степени: ограничения и приёмы решения

Сначала найдите строку, которая задаёт ограничения на область определения, а затем выберите подходящий приём. Если одна и та же степень повторяется, обычно эффективнее замена переменной; если есть один или несколько корней, может понадобиться возведение в квадрат. В обоих случаях окончательное решение принимают только после проверки исходного уравнения.

Разбор задач

1. Уравнение √(x + 1) = x − 1

Слева стоит квадратный корень, поэтому сначала ограничим переменную и только затем устраним корень.

1. Из условия x + 1 ≥ 0 получаем ОДЗ: x ≥ −1.
2. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = (x − 1)². После раскрытия скобок x² − 3x = 0, поэтому x = 0 или x = 3.
3. Проверяем кандидатов: при x = 0 имеем 1 = −1, это неверно; при x = 3 получаем 2 = 2.

Ответ: x = 3.

2. Уравнение x^(2/3) − 3x^(1/3) + 2 = 0

Обе дробные степени связаны с x^(1/3), поэтому замена сделает уравнение квадратным.

1. Положим t = x^(1/3). Тогда x^(2/3) = t², и получаем t² − 3t + 2 = 0.
2. Разложим квадратный трёхчлен: (t − 1)(t − 2) = 0. Значит, t = 1 или t = 2.
3. Возвращаемся к x: x^(1/3) = 1 даёт x = 1, а x^(1/3) = 2 даёт x = 8.

Ответ: x = 1; x = 8.

3. Уравнение √(x + 1) + √(x − 2) = 3

Здесь два корня, поэтому после ОДЗ изолируем один из них и возводим уравнение в квадрат последовательно.

1. ОДЗ: x + 1 ≥ 0 и x − 2 ≥ 0, значит x ≥ 2. Переносим второй корень: √(x + 1) = 3 − √(x − 2).
2. Возводим в квадрат: x + 1 = 9 − 6√(x − 2) + x − 2. Отсюда 6√(x − 2) = 6, то есть √(x − 2) = 1.
3. Получаем x − 2 = 1, поэтому x = 3. Проверка даёт √4 + √1 = 2 + 1 = 3.

Ответ: x = 3.

Типичные ошибки

Возводить обе части в квадрат без ОДЗ. Так можно получить кандидата, при котором корень не определён. Сначала выпишите ограничения, а затем проверьте, входит ли найденное значение в них.

Не проверять корни после возведения в чётную степень. Равенство квадратов допускает противоположные по знаку выражения, поэтому преобразование может быть неравносильным. Подставьте каждый кандидат именно в исходное уравнение.

Считать, что корень чётной степени существует из любого числа. В действительных числах √a определён только при a ≥ 0, хотя нечётный корень может иметь отрицательное подкоренное выражение. Проверьте знак каждого подкоренного выражения до вычислений.

Забывать ограничение при отрицательном показателе. Запись x⁻² означает 1/x² и не имеет смысла при x = 0. Найдите основания отрицательных степеней и исключите их нулевые значения из ОДЗ.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны навыки нахождения ОДЗ, работы с корнями и степенями с целыми показателями. Эти умения помогают понять, какие преобразования допустимы и какие значения можно подставлять в уравнение.

Замена переменной связывает рациональные степени с квадратными и биквадратными уравнениями: сложная запись превращается в знакомый многочлен. Проверка корней и учёт ОДЗ также постоянно используются при решении иррациональных уравнений.

Что запомнить

• Дробный показатель можно выразить через корень: x^(m/n) = (ⁿ√x)^m.
• Для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
• Отрицательный показатель запрещает нулевое основание.
• Перед преобразованиями найди ОДЗ.
• Замена переменной упрощает уравнение с повторяющимися степенями.
• После возведения в чётную степень проверь корни в исходном уравнении.