"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Уравнения и неравенства высших степеней сводятся к работе с многочленом, степень которого больше двух. В уравнении удобно разложить многочлен на множители: тогда корни ищут отдельно для каждого множителя. В неравенстве нужно выяснить, где всё выражение положительно или отрицательно. Для этого отмечают нули на прямой и применяют метод интервалов. При выборе ответа учитывают кратность корней и то, является ли неравенство строгим или нестрогим.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение высшей степени — уравнение, которое после переноса слагаемых в одну часть и упрощения сводится к уравнению с многочленом степени выше второй. Обычно его записывают как P(x) = 0. Решение часто начинают с разложения многочлена на множители: так задачу можно свести к нескольким более простым уравнениям.
Неравенство высшей степени после преобразований сводится к сравнению многочлена с нулём, например P(x) > 0. Чтобы выяснить, при каких x неравенство верно, находят нули многочлена и определяют его знак на промежутках между ними. Эти промежутки и их знаки помогают записать ответ.
Метод интервалов — способ решения неравенства, при котором нули выражения отмечают на числовой прямой и исследуют знаки на получившихся промежутках. Если выражение не определено в каких-либо точках, их тоже отмечают как точки разрыва. Для многочлена разрывов нет, поэтому на прямой отмечают только его нули.
Кратность корня многочлена — число повторений соответствующего линейного множителя в разложении. Например, в выражении (x − 2)² корень 2 имеет кратность 2. При переходе через корень нечётной кратности знак меняется, а через корень чётной кратности остаётся прежним.
Уравнение сначала приводят к виду P(x) = 0, потому что тогда достаточно выяснить, при каких x многочлен обращается в ноль. Если P(x) представляется произведением множителей, действует свойство: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулём является хотя бы один множитель. Поэтому вместо одного сложного уравнения можно получить несколько простых, не теряя решений.
Например, если P(x) = (x − a)(x + b), уравнение P(x) = 0 равносильно совокупности уравнений x − a = 0 или x + b = 0. Каждое из них решают отдельно, а затем объединяют полученные корни. В более длинном разложении поступают так же: приравнивают к нулю каждый множитель. Перед этим проверьте, что исходное уравнение действительно преобразовано к нулю без деления на выражение, которое может оказаться нулём.
В неравенстве нельзя рассматривать множители по отдельности как самостоятельные уравнения: требуется знак всего произведения. Нули множителей делят числовую прямую на промежутки, внутри каждого из которых знак каждого множителя постоянен. Значит, не меняется и знак произведения. Чтобы выяснить его на промежутке, можно подставить одно пробное число или определить знак на крайнем промежутке и проследить изменения у корней.
Связь смены знака с кратностью видна из множителя (x − a)ᵐ. При переходе через a знак скобки меняется, но при чётном m её знак возводится в чётную степень и остаётся положительным по обе стороны от корня. При нечётном m знак степени меняется вместе со знаком скобки. Поэтому через корень нечётной кратности знак всего выражения меняется, а через корень чётной кратности — нет, если остальные множители в этой точке не обращаются в ноль.
После определения нужных промежутков отдельно проверьте граничные точки. При строгих знаках < и > равенство нулю не подходит, поэтому нули исключают. При нестрогих знаках ≤ и ≥ нули включают, если выражение в них определено; для многочлена это выполняется всегда. Так выбор знака неравенства влияет на запись ответа, но не на расположение промежутков постоянного знака.
| Случай | Поведение знака при переходе через корень | Включение корня в ответ |
|---|---|---|
| Корень нечётной кратности | Знак меняется | Зависит от строгого или нестрогого знака |
| Корень чётной кратности | Знак сохраняется | Зависит от строгого или нестрогого знака |
| Строгое неравенство | Знак определяют на промежутках | Нули исключают |
| Нестрогое неравенство | Знак определяют на промежутках | Нули включают, если выражение определено |
Сначала по первым двум строкам установите, как меняется знак у каждого корня. Затем выберите подходящие промежутки и сверьтесь с последними строками, чтобы правильно включить или исключить граничные точки. Для многочлена корни определены, поэтому при нестрогом знаке их можно включать, если они удовлетворяют условию равенства.
Вынесем общий множитель x: x³ − 4x = x(x² − 4). Это удобно, потому что оставшаяся разность квадратов тоже раскладывается на множители.
Применим формулу разности квадратов: x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Теперь уравнение имеет вид произведения, равного нулю.
Приравняем к нулю каждый множитель: x = 0, x − 2 = 0 или x + 2 = 0. Получаем корни 0, 2 и −2.
Ответ: −2, 0, 2.
Найдём нули множителей: x = 1, x = −2 и x = 3. Отметим их на прямой в порядке −2, 1, 3; они делят её на четыре промежутка.
На крайнем промежутке x > 3 все три множителя положительны, поэтому произведение положительно. Каждый корень имеет кратность 1, то есть нечётную, поэтому при переходе через каждый знак меняется.
Идём слева направо: на (1; 3) знак отрицательный, на (−2; 1) положительный, на (−∞; −2) отрицательный. Выбираем промежутки с положительным произведением.
Неравенство строгое, значит, точки −2, 1 и 3, где произведение равно нулю, не включаем.
Ответ: (−2; 1) ∪ (3; +∞).
Нули выражения: −1, 2 и 4. Корень 2 имеет кратность 2, а корни −1 и 4 — кратность 1. Расставим точки в таком порядке на числовой прямой.
При x > 4 все множители положительны, поэтому произведение положительно. Переход через 4 меняет знак, через 2 знак сохраняется, а через −1 снова меняется.
Значит, выражение отрицательно на (2; 4) и на (−∞; −1), а положительно на промежутках между ними и справа от 4. Для условия ≤ 0 выбираем отрицательные промежутки и добавляем точки, где выражение равно нулю.
Все три корня включаются: знак неравенства нестрогий, а выражение является многочленом и определено в каждой из этих точек.
Ответ: (−∞; −1] ∪ [2; 4].
После разложения произведения иногда приравнивают к нулю каждый множитель и в неравенстве. Так находят лишь нули выражения, но не промежутки, где оно нужного знака. Ошибка возникает из-за переноса правила для уравнений на неравенства; проверьте себя подстановкой пробного числа в каждый промежуток.
Другая ошибка — считать, что знак меняется при переходе через любой корень. При корне чётной кратности знак сохраняется, потому что соответствующий множитель возведён в чётную степень. Запишите множители с их степенями и отмечайте смену знака только у корней нечётной кратности.
В ответ строгого неравенства иногда включают точки, где выражение равно нулю. Это противоречит знакам < и >: равенство им не подходит. Перед записью ответа проверьте каждый конец промежутка и исключите нули, если неравенство строгое.
Неверное раскрытие скобок или перенос слагаемых может изменить многочлен, его корни и знак. Такие ошибки часто появляются при спешке или пропущенном минусе. Проверьте разложение умножением, а преобразование уравнения или неравенства — повторным раскрытием скобок.
Для решения таких задач нужно уметь раскладывать многочлены на множители, решать линейные и квадратные уравнения и отмечать числа на координатной прямой. Метод интервалов опирается на свойства произведения и правила сравнения чисел. По тому же принципу решают рациональные неравенства, дополнительно учитывая точки, в которых выражение не определено. Эти приёмы пригодятся при исследовании функций, решении более сложных неравенств и отборе корней в прикладных задачах.
Как понять, на какие множители раскладывать многочлен?
Сначала проверьте, есть ли общий множитель у всех слагаемых, а также подходят ли формулы сокращённого умножения. Иногда помогает группировка слагаемых или подбор корней, при которых многочлен обращается в ноль. После разложения перемножьте множители обратно и сравните результат с исходным многочленом.
Почему для решения неравенства недостаточно приравнять каждый множитель к нулю?
Приравнивание множителей к нулю находит только точки, в которых произведение равно нулю. Для неравенства нужно определить знак произведения на промежутках между этими точками. Один и тот же набор нулей может разделять прямую на промежутки с разными знаками.
Как выбрать знак на первом промежутке в методе интервалов?
Можно взять любое число из первого промежутка и подставить его в исходное выражение или в разложение на множители. По знакам множителей определите знак всего произведения. Для многочлена с известным старшим коэффициентом иногда проще сразу определить знак на крайнем промежутке.
Что меняется в таблице знаков, если корень имеет чётную кратность?
При переходе через корень чётной кратности знак выражения сохраняется. Такой корень соответствует множителю с чётной степенью, который не меняет знак при смене знака скобки. Сам корень всё равно отмечают на прямой и отдельно решают, включать ли его в ответ.
Когда корни нужно включать в ответ неравенства?
При строгих знаках < и > точки, в которых выражение равно нулю, не входят в ответ. При нестрогих знаках ≤ и ≥ такие точки включают, если выражение в них определено. Для многочлена оно определено при всех значениях x.
§ 4. Решение уравнений и неравенств высших степеней
