4.4.3.* Деление многочленов и теорема Безу. Схема Горнера

Определения и обозначения

Деление многочленов с остатком — это представление делимого в виде произведения делителя на частное плюс остаток. Если делимое A(x), а делитель B(x), то A(x) = B(x)Q(x) + R(x), причём степень R(x) меньше степени B(x). Это условие позволяет остановить деление вовремя и получить точное представление исходного многочлена.

Частное Q(x) и остаток R(x) — многочлены, которые вместе удовлетворяют равенству A(x) = B(x)Q(x) + R(x). При делении на x − a остаток является числом, потому что его степень должна быть меньше степени линейного делителя. Эти обозначения помогают отдельно указать результат деления и то, что не удалось разделить.

Теорема Безу утверждает: остаток от деления многочлена P(x) на x − a равен P(a). Иначе говоря, чтобы найти остаток, можно вместо деления подставить в многочлен число a. Это особенно удобно, когда нужно узнать только остаток, а само частное не требуется.

Схема Горнера — краткая запись деления многочлена на двучлен вида x − a. В ней используют коэффициенты многочлена и число a, а последовательные действия записывают компактно. Схема помогает быстро найти коэффициенты частного и остаток, не выполняя деление столбиком.

Как это устроено

Деление многочленов строится по аналогии с делением чисел: на каждом шаге выбирают член частного, который сокращает старший член текущего остатка. Старшим называют член с наибольшей степенью переменной. Например, чтобы убрать член x³, подбирают такой член частного, произведение которого на старший член делителя даст x³. После вычитания старший член исчезает, и работа продолжается с членом меньшей степени.

Частное и остаток получаются однозначно, потому что на каждом шаге требуемый член частного определяется старшими членами делимого и делителя. Если остановиться, пока степень остатка не меньше степени делителя, можно было бы продолжить деление и убрать ещё один старший член. Поэтому процесс заканчивают только при степени остатка меньше степени делителя. Именно это условие не позволяет представить одно и то же делимое двумя разными способами.

Если делитель равен x − a, то остаток имеет степень меньше первой, а значит, это постоянное число. По делению с остатком P(x) = (x − a)Q(x) + R. Подставим x = a: множитель x − a обратится в ноль, и останется равенство P(a) = R. Так получается теорема Безу: вычисление значения многочлена сразу даёт остаток.

Из теоремы Безу следует критерий корня. Число a является корнем P(x), если P(a) = 0; по теореме Безу это равносильно тому, что остаток при делении на x − a равен нулю. А нулевой остаток означает, что P(x) делится на x − a без остатка. Поэтому проверка значения многочлена и проверка делимости на линейный двучлен отвечают на один и тот же вопрос.

В схеме Горнера коэффициенты обрабатывают по очереди. Первый коэффициент переносят в нижнюю строку, затем умножают полученный результат на a и складывают с очередным коэффициентом исходного многочлена. Повторение этих двух действий даёт следующие коэффициенты частного, а последний результат — остаток. Такая запись компактна, потому что заменяет длинное деление последовательностью умножений и сложений.

Деление многочленов на двучлен x − a

Сначала определите, что именно требуется найти: для одного остатка достаточно вычислить P(a), а для частного понадобится схема Горнера или деление столбиком. В таблице сравниваются не разные ответы, а способы получить их. При проверке деления без остатка следите за остатком, а не только за коэффициентами частного.

Разбор задач

Деление столбиком

Разделим x³ + 2x² − x + 3 на x + 1. Делитель можно записать как x − (−1), но в этом примере удобнее действовать столбиком. На каждом шаге подбираем член частного, который убирает старший член текущего многочлена.

1. Разделим x³ на x и получим x² — первый член частного. Умножим x² на x + 1 и вычтем результат; останется x² − x + 3.

2. Разделим x² на x и получим x. Вычитание произведения x(x + 1) оставит −2x + 3.

3. Разделим −2x на x и получим −2. После вычитания −2(x + 1) останется 5, степень которого меньше степени делителя.

Ответ: частное x² + x − 2, остаток 5. Проверка: (x + 1)(x² + x − 2) + 5 = x³ + 2x² − x + 3.

Остаток по теореме Безу

Найдём остаток от деления 2x³ − 3x² + x − 5 на x − 2. Делитель имеет вид x − a, где a = 2. Теорема Безу позволяет не находить частное: достаточно подставить 2 в исходный многочлен.

1. Запишем P(2) = 2 · 2³ − 3 · 2² + 2 − 5.

2. Вычислим по порядку: 16 − 12 + 2 − 5 = 1.

Ответ: остаток равен 1. Проверка знака проста: число, обращающее делитель x − 2 в ноль, равно 2, поэтому подставлять нужно именно 2.

Деление по схеме Горнера

Разделим x⁴ − 3x³ + 2x² + 5x − 6 на x − 2 и проверим, является ли 2 корнем. Коэффициенты многочлена записаны по убыванию степеней, а число для схемы — a = 2. Последнее число схемы будет остатком, предыдущие дадут коэффициенты частного.

1. Запишем коэффициенты: 1, −3, 2, 5, −6. Первую 1 переносим вниз.

2. Умножаем 1 на 2 и складываем с −3: получаем −1. Умножаем −1 на 2 и складываем с 2: получаем 0.

3. Умножаем 0 на 2 и складываем с 5: получаем 5. Умножаем 5 на 2 и складываем с −6: получаем 4.

Ответ: частное x³ − x² + 5, остаток 4. Число 2 не является корнем многочлена, поскольку остаток не равен нулю.

Типичные ошибки

При делении на x − a иногда подставляют −a вместо a. Это происходит из-за знака минус в записи делителя, но нужно искать число, которое обращает делитель в ноль: для x − 2 это 2, а для x + 3 — −3. Проверьте себя подстановкой: x − a должен стать нулём при x = a.

Схему Горнера ошибочно применяют к делителю, который не имеет вида x − a. Обычно это случается, когда вид схемы запоминают, но не проверяют сам делитель. Сначала преобразуйте его: например, x + 3 = x − (−3); если делитель второй степени, эта схема не подходит. Перед вычислениями убедитесь, что коэффициент при x равен 1 и делитель линейный.

Если в многочлене пропущена степень, её коэффициент нужно записать как 0. Например, в x³ + 2x − 1 отсутствует член с x², поэтому ряд коэффициентов такой: 1, 0, 2, −1. Пропуск нуля сдвигает остальные коэффициенты, и схема даёт неверное частное. Проверяйте, что коэффициент записан для каждой степени от старшей до свободного члена.

Нельзя объявлять деление без остатка, не проверив последнее число схемы Горнера. Иногда ученики принимают за остаток один из предыдущих результатов, ведь все они стоят в одной строке. Однако остатком является именно последний результат; сравните его с нулём. Если он ненулевой, деление не без остатка и число a не является корнем.

Связь с другими темами

Для деления многочленов нужны сложение, умножение и деление многочленов, а также умение определять степень и коэффициенты. Теорема Безу опирается на подстановку значения переменной в многочлен и понятие корня: значение P(a) показывает, является ли a корнем. В дальнейшем деление и схема Горнера помогут разлагать многочлены на множители, искать корни и решать уравнения высших степеней. Так вычислительный способ связывается с исследованием уравнений.

Что запомнить

• A(x) = B(x)Q(x) + R(x), где степень R(x) меньше степени B(x).
• При делении на x − a остаток равен P(a).
• a — корень P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится на x − a без остатка.
• Схема Горнера предназначена для деления на двучлен вида x − a.
• Последний результат схемы Горнера — остаток, остальные результаты задают коэффициенты частного.
• В записи многочлена для схемы Горнера нельзя пропускать нулевые коэффициенты.