"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Бином Ньютона помогает быстро раскрывать степень суммы, не перемножая скобки по одной: коэффициенты слагаемых берут из треугольника Паскаля или находят как сочетания. Степень первого слагаемого при этом уменьшается, второго — увеличивается, а их сумма в каждом члене равна показателю степени. Из этой формулы получают разложения степеней и формулы для разности степеней и суммы нечётных степеней. Эти правила полезны при упрощении выражений и разложении многочленов на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Бином Ньютона — формула разложения степени суммы двух слагаемых: (a + b)ⁿ = Σ C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ, где k принимает значения от 0 до n. Она показывает, из каких слагаемых состоит результат возведения суммы в степень. С помощью формулы можно раскрывать большие степени без многократного перемножения скобок.
Биномиальный коэффициент C(n,k) — число способов выбрать k элементов из n. В формуле он становится числовым коэффициентом при члене aⁿ⁻ᵏbᵏ. Благодаря ему можно сразу узнать, сколько одинаковых слагаемых возникнет при раскрытии скобок.
Треугольник Паскаля — таблица чисел, в которой крайние числа каждой строки равны 1, а каждое внутреннее число получается сложением двух чисел над ним. Строка с номером n даёт коэффициенты для (a + b)ⁿ, если первую строку считать строкой с номером 0. Таблица помогает находить коэффициенты без вычислений по отдельности.
Общие формулы сокращённого умножения — формулы для разложения сумм и разностей степеней, а также выражений вида (a + b)ⁿ. Они позволяют заменить длинное перемножение скобок короткой записью. Это особенно удобно при упрощении выражений и разложении многочленов на множители.
Степень суммы (a + b)ⁿ означает произведение n одинаковых скобок. Чтобы получить член, в каждой скобке выбирают либо a, либо b; если выбрано k букв b, в произведении останутся k множителей b и n−k множителей a. Поэтому член имеет вид aⁿ⁻ᵏbᵏ, а сумма его показателей равна n. Один и тот же такой член возникает при разных выборах скобок, и число этих выборов равно C(n,k).
Правило треугольника Паскаля следует из подсчёта выборов. Все способы выбрать k элементов из n можно разделить на две группы: в первой выбран некоторый заранее отмеченный элемент, во второй он не выбран. В первой группе остаётся выбрать k−1 элемент из n−1, во второй — k элементов из n−1. Поэтому C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), что и объясняет сложение соседних чисел предыдущей строки.
Коэффициенты симметричны: C(n,k) = C(n,n−k). Выбрать k элементов — то же самое, что определить n−k элементов, которые останутся невыбранными. В разложении это означает, что коэффициенты при aⁿ⁻ᵏbᵏ и aᵏbⁿ⁻ᵏ одинаковы. Например, в пятой строке коэффициенты идут зеркально: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Для малых n формула даёт знакомые разложения: (a + b)² = a² + 2ab + b², а (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. В выражении (a − b)ⁿ второй член можно считать равным −b, поэтому слагаемое с bᵏ получает множитель (−1)ᵏ. Знаки чередуются при увеличении степени b: при чётной степени знак плюс, при нечётной — минус. Это правило действует на каждый член, а не только на последний.
Формулы степеней можно получить умножением на многочлен с последовательно уменьшающимися степенями a и возрастающими степенями b. В произведении для разности aⁿ−bⁿ берут все плюсовые знаки: промежуточные слагаемые сокращаются, остаются aⁿ и −bⁿ. Для суммы нечётных степеней aⁿ+bⁿ знаки внутри многочлена чередуют, начиная с плюса; при нечётном n сокращаются промежуточные члены, а крайние дают нужную сумму.
| Выражение | Условие | Разложение или множители | Правило знаков |
|---|---|---|---|
| (a + b)ⁿ | n — натуральное число | Σ C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ | Все знаки положительные |
| (a − b)ⁿ | n — натуральное число | Σ (−1)ᵏC(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ | Знак зависит от степени b: чётная — плюс, нечётная — минус |
| aⁿ − bⁿ | n — натуральное число | (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) | Во втором множителе все знаки плюсовые |
| aⁿ + bⁿ | n — нечётное | (a + b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + … − abⁿ⁻² + bⁿ⁻¹) | Во втором множителе знаки чередуются |
Для бинома выбери строку треугольника Паскаля с номером n, а затем выпиши степени первого слагаемого по убыванию, второго — по возрастанию. Для сумм и разностей степеней сначала проверь условие: разность раскладывается при любом натуральном показателе, а сумма — при нечётном. После этого запиши соответствующий знакочередующийся или положительный множитель.
Нужно использовать коэффициенты четвёртой строки треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1. Степень x будет уменьшаться от 4 до 0, а степень числа 2 — увеличиваться от 0 до 4. Так мы не пропустим ни одного члена и сохраним сумму показателей, равную четырём.
Записываем схему по биному Ньютона: x⁴ + 4x³·2 + 6x²·2² + 4x·2³ + 2⁴. Коэффициенты берём из строки n = 4. В каждом слагаемом степень x и степень второго слагаемого в сумме дают 4.
Вычисляем числовые степени и произведения: 4·2 = 8, 6·2² = 24, 4·2³ = 32, 2⁴ = 16. Подставляем результаты, сохраняя соответствующие степени x. Получаем x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Ответ: (x + 2)⁴ = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
Сначала применим коэффициенты пятой строки: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Вторым слагаемым здесь является −b, поэтому каждый член с нечётной степенью b будет отрицательным. Отдельно возводим 2a в нужные степени и учитываем степень b.
Записываем члены: (2a)⁵ + 5(2a)⁴(−b) + 10(2a)³(−b)² + 10(2a)²(−b)³ + 5(2a)(−b)⁴ + (−b)⁵. Чётные степени −b дают положительный знак, нечётные — отрицательный. Это позволяет определить знак до упрощения чисел.
Вычисляем степени и коэффициенты по порядку: 32a⁵, −80a⁴b, 80a³b², −40a²b³, 10ab⁴, −b⁵. Например, коэффициент третьего члена равен 10·2³ = 80. Собираем слагаемые в один многочлен.
Ответ: (2a − b)⁵ = 32a⁵ − 80a⁴b + 80a³b² − 40a²b³ + 10ab⁴ − b⁵.
Показатель 7 нечётный, значит, сумму степеней можно разложить с помощью множителя x + y. Во втором множителе степени x убывают от 6 до 0, степени y возрастают от 0 до 6. Знаки чередуются, начиная с плюса и заканчивая плюсом.
Подставляем a = x, b = y, n = 7 в формулу суммы нечётных степеней. Получаем x⁷ + y⁷ = (x + y)(x⁶ − x⁵y + x⁴y² − x³y³ + x²y⁴ − xy⁵ + y⁶). Перед последним членом стоит плюс, потому что он содержит чётную степень y.
Для проверки умножаем многочлен на x и на y. При умножении на x возникают члены от x⁷ до xy⁶, а при умножении на y — от x⁶y до y⁷ с противоположными знаками. Все промежуточные слагаемые попарно сокращаются, остаются x⁷ и y⁷.
Ответ: x⁷ + y⁷ = (x + y)(x⁶ − x⁵y + x⁴y² − x³y³ + x²y⁴ − xy⁵ + y⁶).
В разложении иногда записывают только степени a или только степени b. Так теряются слагаемые, потому что при выборе множителей из всех скобок могут появиться обе переменные. Проверка проста: в каждом члене сумма показателей степеней должна быть n.
Ещё одна ошибка — принимать коэффициент при aⁿ⁻ᵏbᵏ за k или n−k. Эти числа показывают степени множителей, а коэффициент равен C(n,k), поскольку считает число способов получить данный член. Сверь коэффициенты с треугольником Паскаля или вычисли C(n,k).
При раскрытии (a − b)ⁿ порой меняют знак только у последнего члена. Причина — внимание сосредоточено на конце записи, хотя знак определяется степенью b в каждом слагаемом. Проверь по правилу (−b)ᵏ: при нечётном k знак минус, при чётном — плюс.
Формулу разности степеней ошибочно применяют к сумме aⁿ + bⁿ при чётном n. У суммы множитель a + b появляется по этой схеме только при нечётном показателе; смешение формул обычно происходит из-за похожей записи. Перед разложением проверь, что именно стоит между степенями и чётен ли показатель.
Для раскрытия бинома нужны умножение многочленов и правила действий со степенями с натуральным показателем. Сочетания объясняют происхождение коэффициентов, а треугольник Паскаля позволяет быстро их найти. Эти формулы применяются при тождественных преобразованиях, разложении многочленов на множители и вычислении выражений. Проверка умножением связывает разложение на множители с обычным раскрытием скобок.
Как быстро найти коэффициенты разложения (a + b)^n?
Возьми строку с номером n в треугольнике Паскаля, считая первую строку строкой n = 0. Например, для n = 4 это коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1. Их можно также вычислить по формуле C(n,k).
Почему коэффициенты в разложении симметричны?
C(n,k) считает способы выбрать k элементов из n, а C(n,n−k) — выбрать те n−k элементов, которые не вошли в выбор. Эти количества равны, поэтому коэффициенты при соответствующих членах разложения одинаковы.
Как определить знаки членов в разложении (a − b)^n?
Запиши (a − b)^n как бином слагаемых a и −b. Член, где степень b равна k, содержит множитель (−b)^k, поэтому при чётном k знак плюсовой, а при нечётном — минусовой.
Когда сумму степеней можно разложить на множители?
Выражение aⁿ + bⁿ раскладывается на множители по общей формуле, если n нечётно: одним из множителей будет a + b. При чётном n такая формула для суммы в общем случае неприменима.
Как проверить разложение на множители после применения общей формулы?
Умножь полученные множители, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые. Если после сокращения остаётся исходное выражение, разложение верно. Для проверки следи за знаками и степенями каждого члена.
4.4.5.* Бином Ньютона. Общие формулы сокращенного умножения
