"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Система нелинейных уравнений объединяет несколько уравнений с общими неизвестными, причём хотя бы одно содержит квадрат, произведение переменных или другую нелинейность. Решением считается только такой набор значений, который одновременно подходит каждому уравнению. Системы решают подстановкой, сложением, заменой переменных или графически, а найденные пары обязательно проверяют в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система нелинейных уравнений — несколько уравнений с общими неизвестными, хотя бы одно из которых нелинейно. Нелинейность появляется, например, в выражениях x², xy, √x. Это определение помогает отличить такие системы от систем, где все переменные входят только в первой степени.
Решение системы — набор значений неизвестных, при подстановке которого каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Для двух переменных решением обычно является пара (x; y). Такое требование объясняет, почему недостаточно решить только одно уравнение.
Равносильные системы — системы, имеющие одно и то же множество решений. При преобразовании удобно заменять уравнения более простыми, но результат должен сохранять все подходящие наборы и не добавлять лишних. Поэтому равносильность нужно учитывать при каждом шаге решения.
Графический метод решения системы — поиск точек пересечения графиков уравнений, заданных в виде функций. Координаты общей точки одновременно удовлетворяют обоим уравнениям. Метод позволяет увидеть число решений и взаимное расположение графиков, хотя координаты иногда определяются лишь приблизительно.
Решение системы должно одновременно удовлетворять каждому уравнению, потому что слово «система» означает выполнение всех условий сразу. Если пара подходит только первому уравнению, она лежит на графике первой зависимости, но не обязана лежать на второй. Поэтому проверяют не отдельные значения, а весь набор: для пары (x; y) подставляют оба числа в каждое исходное уравнение.
Подстановка начинается с выражения одной переменной через другую. Например, из y = x + 1 уже известен y для любого выбранного x, поэтому это выражение можно вставить во второе уравнение. Так две связанные неизвестные заменяются одной, а после решения полученного уравнения найденное значение подставляют обратно, чтобы восстановить вторую переменную.
При замене уравнения системы равносильным нужно сохранить именно множество решений. Перенос слагаемых и тождественные преобразования обычно не меняют его, а возведение в квадрат может добавить посторонние корни. Деление на выражение с неизвестной способно потерять решения, если это выражение равно нулю, поэтому такой случай рассматривают отдельно и затем выполняют проверку.
В графическом методе каждое уравнение записывают как зависимость, например y = f(x), и строят соответствующие графики. Общие точки графиков дают пары координат, удовлетворяющие сразу двум уравнениям. Однако рисунок имеет ограниченную точность: близкие точки можно перепутать, а неудобные координаты нельзя надёжно считать по клеткам, поэтому графический ответ проверяют вычислениями.
Способ выбирают по виду системы. Если одна переменная уже выражена явно, удобнее подстановка; если после сложения или вычитания сокращаются одинаковые части, применяют сложение. Симметричные выражения вроде x² + y² и xy подсказывают замену переменных, а графический способ полезен для наглядного определения числа и расположения решений.
| Способ | Основная идея | Когда удобно применять | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Подстановка | Выразить одну переменную и подставить её во второе уравнение. | Одна переменная уже выражена или легко выражается. | Восстановить вторую переменную и проверить пары. |
| Сложение или вычитание уравнений | Сложить или вычесть уравнения, чтобы сократить слагаемые. | Одинаковые или противоположные части взаимно уничтожаются. | Не потерять случай с нулевым множителем. |
| Замена переменных | Ввести новое обозначение для повторяющегося выражения. | В системе есть симметрия или повторяются x + y, xy, x² + y². | Вернуться к исходным x и y и проверить результат. |
| Графический способ | Найти общие точки графиков двух уравнений. | Нужно увидеть число решений или графики легко строятся. | Уточнить приблизительные координаты подстановкой. |
Сначала осмотрите систему и найдите самый короткий путь к одной неизвестной или к простому выражению. Если два способа одинаково удобны, выбирайте тот, где меньше преобразований и ниже риск потерять решения.
Таблица напоминает не только название метода, но и контрольный шаг. После любого способа полезно подставить найденные пары в исходные уравнения, а не в изменённые промежуточные записи.
Решить систему: y = x², y = 2x. Оба уравнения уже выражают одну и ту же переменную y, поэтому сравним их правые части.
Ответ: (0; 0), (2; 4). Точки пересечения графиков y = x² и y = 2x имеют именно эти координаты.
Решить систему: x² + y² = 25, y = x + 1. Второе уравнение сразу даёт выражение для y, поэтому подстановка сводит систему к одному квадратному уравнению.
Ответ: (−4; −3), (3; 4). Подстановка каждой пары в x² + y² = 25 и y = x + 1 подтверждает оба решения.
Решить систему: x² + y² = 25, xy = 12. Здесь переменные входят симметрично, поэтому удобно найти сумму и разность, а затем восстановить сами числа.
Ответ: (4; 3), (3; 4), (−4; −3), (−3; −4). Проверка нужна, потому что при извлечении квадратного корня учитываются оба знака.
Решить только одно уравнение. Корень одного уравнения может не подходить второму, потому что условия системы должны выполняться одновременно. Подставьте найденную пару во все исходные уравнения.
Не восстановить пару неизвестных. После нахождения x иногда забывают найти y и записывают отдельные значения вместо решения системы. Используйте исходное уравнение для обратной подстановки и оформляйте ответ парами.
Безусловно делить на выражение с неизвестной. Если делитель может быть нулём, деление способно удалить допустимые решения. Приравняйте делитель к нулю, рассмотрите этот случай отдельно, а остальные преобразования завершите проверкой.
Считать график точным вычислением. Координаты по рисунку часто считываются приблизительно, особенно если точка не находится на узле сетки. Запишите предполагаемые значения и проверьте их подстановкой в исходную систему.
Для решения таких систем нужны навыки работы с линейными и квадратными уравнениями, преобразования выражений и решение систем линейных уравнений. Без разложения на множители, раскрытия скобок и работы с корнями подстановка становится трудной.
Тема связана с графиками функций. Умение строить параболу, прямую, окружность и другие графики помогает понимать, почему решениями являются их общие точки.
Методы систем применяются в задачах, где несколько величин связаны одновременно. Так можно описывать геометрические условия, движение, работу и другие ситуации, приводящие к нескольким уравнениям с общими неизвестными.
Чем нелинейная система отличается от системы линейных уравнений?
В линейной системе переменные входят только в первой степени и не перемножаются друг с другом. В нелинейной системе хотя бы одно уравнение содержит, например, x², xy, √x или другую нелинейную зависимость.
Как понять, какое уравнение удобнее использовать для подстановки?
Выбирайте уравнение, из которого одну переменную можно выразить проще всего, желательно без громоздких дробей и корней. Особенно удобно сразу использовать запись вида y = f(x) или x = g(y).
Почему найденные значения нужно проверять в исходной системе?
При преобразованиях можно получить лишние корни или потерять часть решений. Подстановка всей найденной пары в оба исходных уравнения показывает, действительно ли она является решением системы.
Можно ли при решении системы делить уравнение на выражение с переменной?
Можно, но сначала нужно рассмотреть случай, когда это выражение равно нулю. Иначе можно потерять решения, для которых делитель обращается в ноль.
Всегда ли по графику можно точно определить решения системы?
Нет. Если точка пересечения имеет нецелые или неудобные координаты, по рисунку можно определить их только приблизительно. Точный результат лучше подтвердить алгебраическими вычислениями и проверкой.
§ 5. Системы нелинейных уравнений
