"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Система уравнений объединяет несколько уравнений с общими переменными, которые должны выполняться одновременно. Её решение — значения переменных, подходящие каждому уравнению. Для нахождения решения применяют подстановку: одну переменную выражают через другую, или сложение: уничтожают одну из переменных. Главное — выполнять равносильные преобразования, находить обе переменные и проверять пару в исходной системе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система уравнений — несколько уравнений с одними и теми же переменными, которые должны выполняться одновременно. Обычно систему записывают фигурной скобкой, чтобы показать общие условия. Это нужно, чтобы искать не отдельные ответы, а значения, подходящие всем уравнениям сразу.
Решение системы уравнений — пара значений переменных, удовлетворяющая каждому уравнению системы. Для переменных x и y ответ часто записывают так: (x; y). Такое определение помогает отличить настоящий ответ от значения, которое подходит только одному уравнению.
Способ подстановки — преобразование системы, при котором выражение одной переменной подставляют в другое уравнение. Например, вместо y можно записать 2x − 1. Способ нужен, чтобы заменить два уравнения одним уравнением с одной переменной.
Способ сложения — преобразование системы, при котором уравнения складывают или вычитают так, чтобы исключить одну переменную. Если коэффициенты при y равны 3 и −3, при сложении слагаемые уничтожаются. Этот способ позволяет свести систему к обычному линейному уравнению.
Решение системы требует одновременного выполнения обоих уравнений: каждое из них задаёт своё условие на одни и те же переменные. Поэтому нельзя выбрать ответ, подходящий только одному равенству. Преобразования системы должны быть равносильными, то есть не менять множество её решений; тогда найденный ответ останется ответом исходной задачи.
При подстановке сначала выражают одну переменную через другую, выбирая наиболее простой вариант. Полученное выражение заменяет эту переменную в другом уравнении, поэтому в нём остаётся только одна неизвестная. После решения такого уравнения система временно превращается в задачу с одним неизвестным, а найденное значение можно восстановить обратно.
Найденная первая переменная сама по себе ещё не является решением системы, потому что решение состоит из пары. Её подставляют в исходное или преобразованное уравнение, где есть вторая переменная. Так получают второе значение и составляют пару в правильном порядке: сначала значение x, затем значение y.
При сложении уравнений складывают левые части между собой и правые части между собой. Если коэффициенты одной переменной противоположны, например 3 и −3, эта переменная исчезает. Когда коэффициенты не подходят, каждое уравнение умножают на такое число, чтобы после этого получить противоположные коэффициенты; умножать нужно всё уравнение целиком.
Проверка нужна потому, что арифметическая ошибка может появиться даже при правильном выборе способа. Найденные x и y подставляют в оба исходных уравнения, а не только в последнее использованное. Если оба равенства верны, пара является решением; если хотя бы одно неверно, вычисления нужно перепроверить.
| Этап или свойство | Способ подстановки | Способ сложения |
|---|---|---|
| Когда способ особенно удобен | Одна переменная уже выражена или легко выражается. | Коэффициенты одной переменной противоположны или быстро приводятся к этому виду. |
| Первое преобразование системы | Выразить одну переменную через другую. | При необходимости умножить уравнения на подходящие числа. |
| Как исключается одна переменная | Выражение подставляют в другое уравнение. | Уравнения складывают или вычитают. |
| Как находится оставшаяся переменная | Решают полученное уравнение с одной переменной. | Решают уравнение после уничтожения одной переменной. |
| Как находится вторая переменная | Подставляют найденное значение в одно из уравнений. | Подставляют найденное значение в одно из исходных уравнений. |
| Необходимость проверки | Проверяют пару в обоих исходных уравнениях. | Проверяют пару в обоих исходных уравнениях. |
Сначала найдите в системе наиболее простой путь: готовое выражение подсказывает подстановку, а противоположные коэффициенты — сложение. Если оба способа возможны, выбирайте тот, где будет меньше дробей и действий. Последний этап в обоих столбцах одинаков: найти обе переменные и проверить ответ.
Решить систему: y = 2x − 1; 3x + y = 14. Переменная y уже выражена, поэтому подстановка избавляет второе уравнение от y без дополнительных преобразований.
Ответ: (3; 5).
Решить систему: 2x + 3y = 13; 4x − 3y = −1. Коэффициенты при y противоположны, поэтому сложение сразу уничтожит эту переменную.
Ответ: (2; 3).
Решить систему: 3x + 2y = 7; 5x − 3y = −1. Прямое сложение не уничтожает переменную, поэтому сначала создадим противоположные коэффициенты при y.
Ответ: (1; 2).
При подстановке иногда заменяют только часть выражения или теряют скобки: например, записывают 3x + 2x − 1 вместо 3x + (2x − 1), а при умножении могут неверно изменить знак. Ошибка появляется из-за спешки и устного выполнения действий. Проверяйте подстановку, сначала заключая заменяемое выражение в скобки.
При сложении нельзя складывать отдельные удобные слагаемые, оставляя остальные без правила. Нужно сложить всю левую часть с левой, а правую — с правой, сохраняя знаки. Для самопроверки раскройте запись по слагаемым и убедитесь, что ни один член не пропущен.
После нахождения x некоторые записывают его как окончательный ответ, хотя значение y ещё неизвестно. Решение системы — пара, поэтому вторую переменную находят подстановкой в одно из уравнений. Если в ответе указано только одно число, решение не завершено.
Отказ от проверки скрывает арифметические ошибки и неверные знаки. Подставьте найденную пару отдельно в каждое исходное уравнение, не используя только преобразованную запись. Два верных равенства подтверждают ответ, а ошибка хотя бы в одном требует повторить вычисления.
Для этих способов нужны преобразования линейных уравнений: раскрытие скобок, перенос слагаемых, приведение подобных и действия с дробями. Если эти навыки отработаны, решение системы превращается в последовательность знакомых операций. Особенно внимательно следует следить за знаками при переносе и умножении.
Система связана с графическим смыслом: каждое линейное уравнение задаёт прямую, а решение системы является общей точкой двух прямых. Подстановка и сложение находят координаты этой точки вычислениями. Поэтому отсутствие одной точки или совпадение прямых объясняет ситуации «нет решений» и «бесконечно много решений».
Системы применяют в текстовых задачах на движение, работу, покупки и смеси. Сначала по условию составляют два уравнения с двумя неизвестными, затем выбирают удобный способ решения. Полученные числа нужно соотнести с величинами задачи и проверить их смысл.
Как выбрать между способом подстановки и способом сложения?
Подстановка удобна, если одна переменная уже выражена или её легко выразить с коэффициентом 1. Сложение часто быстрее, когда коэффициенты одной переменной уже противоположны или легко становятся такими после умножения уравнений.
Можно ли подставлять найденное выражение в первое уравнение, из которого его получили?
Можно, но это обычно не помогает найти вторую переменную: получится тождество. Выражение подставляют в другое уравнение системы, а после нахождения одной переменной используют любое исходное уравнение для поиска второй.
Зачем умножать уравнения перед сложением?
Умножение позволяет сделать коэффициенты одной переменной противоположными. Тогда при сложении соответствующие слагаемые уничтожаются, и остаётся уравнение с одной переменной.
Почему найденную пару нужно проверять в обоих уравнениях?
Ошибка могла появиться на любом шаге преобразований или вычислений. Подстановка пары в оба исходных уравнения показывает, действительно ли значения удовлетворяют всей системе, а не только одному уравнению.
Что делать, если при решении переменная исчезла и получилось верное или неверное числовое равенство?
Верное равенство означает, что у системы бесконечно много решений: одно уравнение является следствием другого. Неверное равенство означает, что система несовместна и решений нет.
4.5.1. Решение систем способом подстановки и сложения
