4.5.2. Другие способы решения систем нелинейных уравнений с двумя неизвестными

Определения и обозначения

Симметрическая система — система, уравнения которой не меняются, если x и y поменять местами. Например, выражения x + y и xy обладают таким свойством. Симметрия подсказывает искать решение через общие характеристики пары чисел, а не отдельно через каждую переменную.

Симметрические выражения — выражения, значение которых сохраняется при перестановке x и y. К ним относятся x + y, xy, x² + y² и другие похожие выражения. Они позволяют заменить громоздные части системы более простыми обозначениями.

Замена переменных — переход от x и y к новым неизвестным, которые обозначают повторяющиеся или симметрические выражения. Например, можно положить s = x + y или a = x² + y². Такой приём сокращает запись и превращает исходную задачу в более простую, но в конце нужно вернуться к x и y.

Равносильные преобразования системы сохраняют все её решения и не добавляют новых. При делении на выражение с неизвестными надо отдельно проверить случай, когда оно равно нулю, а после возведения в степень — выполнить проверку. Иначе можно потерять подходящую пару или принять постороннюю за решение.

Как это устроено

При симметрии системы отдельные значения x и y часто не различаются: если пара (x; y) подходит, то и пара (y; x) ведёт себя так же. Поэтому естественно ввести s = x + y и p = xy. Система для s и p может оказаться линейной или заметно проще исходной, поскольку одинаковые части выражений объединяются.

Зная сумму и произведение двух чисел, их восстанавливают не угадыванием, а через квадратное уравнение. Числа x и y являются его корнями: t² − st + p = 0, потому что при раскрытии произведения (t − x)(t − y) получается именно такое уравнение. Если дискриминант D = s² − 4p отрицателен, действительных x и y нет.

Иногда симметрия не требуется: в нескольких местах системы может повторяться одно и то же выражение. Тогда его обозначают новой буквой, например u = x + y или u = x², и решают систему уже с u. После этого обязательно используют исходную связь, например x + y = u, иначе найденное значение вспомогательной переменной ещё не является ответом.

Разложение на множители особенно полезно, когда одно уравнение имеет вид произведения, равного нулю. По свойству нулевого произведения хотя бы один множитель должен быть равен нулю, поэтому исходная система распадается на несколько случаев. Каждый случай соединяют с другим уравнением и решают отдельно, чтобы не пропустить часть решений.

Любой приём может сопровождаться ограничениями: делением, извлечением корня или возведением в квадрат. Поэтому найденные значения нельзя считать окончательными сразу после вычислений. Подстановка каждой пары в первоначальную систему отбрасывает посторонние решения и подтверждает правильные.

Приёмы решения нелинейных систем

Сначала определите строение системы: симметрия подсказывает первый приём, а повторяющееся выражение — замену переменной. Если появляется произведение, равное нулю, переходите к отдельным случаям. Последнюю строку таблицы применяют практически всегда: она завершает решение.

Разбор задач

1. Сумма и произведение

Решим систему x + y = 5, xy = 6. Здесь сумма и произведение уже известны, поэтому x и y можно рассматривать как корни одного квадратного уравнения.

1. Обозначим неизвестное корня через t. По сумме и произведению составляем t² − 5t + 6 = 0.
2. Разложим квадратный трёхчлен: (t − 2)(t − 3) = 0, поэтому t = 2 или t = 3.
3. Числа x и y равны 2 и 3 в любом порядке: получаем пары (2; 3) и (3; 2).

Ответ: (2; 3), (3; 2). Обе пары имеют сумму 5 и произведение 6.

2. Использование тождества

Решим систему x² + y² = 13, xy = 6. Сумма пока неизвестна, но её квадрат можно получить из тождества (x + y)² = x² + 2xy + y².

1. Подставим данные: (x + y)² = 13 + 2 · 6 = 25.
2. Так как x + y может быть 5 или −5, рассматриваем оба значения. Для каждого значения составляем уравнение t² − st + 6 = 0.
3. При s = 5 получаем t² − 5t + 6 = 0, откуда t = 2 и t = 3. При s = −5 получаем t² + 5t + 6 = 0, откуда t = −2 и t = −3.

Ответ: (2; 3), (3; 2), (−2; −3), (−3; −2). У каждой пары сумма квадратов равна 13, а произведение равно 6.

3. Разложение на множители

Решим систему x² − y² = 0, x + y = 4. Разность квадратов распадается на два множителя, поэтому нельзя ограничиваться только одним возможным равенством.

1. Разложим первое уравнение: (x − y)(x + y) = 0.
2. Рассмотрим случай x − y = 0. Тогда x = y, а из x + y = 4 получаем x = y = 2, то есть пара (2; 2).
3. Рассмотрим случай x + y = 0. Он противоречит второму уравнению x + y = 4, поэтому решений в этом случае нет.

Ответ: (2; 2). Проверка показывает: 2² − 2² = 0 и 2 + 2 = 4.

Типичные ошибки

Отрицательный дискриминант. Иногда считают, что любые найденные сумма и произведение дают действительные x и y. Но при D < 0 корней нет, поэтому проверяйте дискриминант квадратного уравнения.

Один множитель вместо всех. Ученик может решить только x − y = 0 и забыть про x + y = 0. Равенство произведения нулю требует рассмотреть каждый множитель, а затем проверить каждый случай.

Неосторожное деление. Деление на x, x + y или другое выражение с неизвестными теряет случай его нулевого значения. Сначала приравняйте делитель к нулю и исследуйте этот случай отдельно.

Сумма и произведение вместо ответа. Значения s и p не являются координатами точки решения. Нужно составить квадратное уравнение, восстановить x и y и подставить полученные пары в исходную систему.

Связь с другими темами

Для этих способов нужны разложение многочленов на множители, квадратные уравнения и формулы сокращённого умножения. Замена на сумму и произведение опирается на тождества и связь корней квадратного уравнения с его коэффициентами. Приёмы помогают решать более сложные нелинейные системы и исследовать симметрические выражения.

Что запомнить

• Симметрия системы подсказывает, какие новые переменные выбрать.
• Сумма и произведение двух чисел позволяют составить квадратное уравнение с этими числами в качестве корней.
• Вспомогательная переменная упрощает запись, но в конце её нужно выразить через исходные неизвестные.
• При разложении произведения в ноль рассматривают все возможные нулевые множители.
• Перед делением на выражение с неизвестными отдельно проверяют, не равно ли оно нулю.
• Ответ обязательно проверяют подстановкой в исходную систему.