"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Симметрическая система устроена так, что перестановка неизвестных x и y не меняет её уравнений или сохраняет равносильную систему. Это свойство позволяет заменить переменные суммой s = x + y и произведением p = xy: многие выражения через x и y легко переписать через s и p. После решения системы для новых величин x и y восстанавливают как корни уравнения t² − st + p = 0, а затем проверяют найденные пары в исходных условиях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Симметрической называют систему уравнений, которая после одновременной замены x на y и y на x сохраняется или переходит в равносильную систему. Иными словами, названия неизвестных можно поменять местами, не изменив условий задачи. Это определение помогает заметить, что решения связаны перестановкой координат. Свойство используют, чтобы упростить поиск пар решений.
Симметрический многочлен двух переменных — это многочлен, значение которого не меняется при перестановке x и y. Например, x² + y² симметричен, потому что слагаемые лишь меняются местами. А выражение x² − y² обычно не симметрично: после перестановки оно меняет знак. Такие многочлены удобно узнавать, чтобы заменить их выражениями через сумму и произведение переменных.
Обозначают сумму неизвестных буквой s: s = x + y, а их произведение буквой p: p = xy. Это не новые условия, а короткие имена для двух выражений, которые часто встречаются в симметричной системе. С ними громоздкие формулы становятся короче. Обозначения помогают свести задачу к уравнениям относительно s и p.
Сведение системы к переменным s и p означает, что исходные выражения переписывают через сумму и произведение, решают полученную систему, а затем находят x и y. Поскольку у новых переменных есть смысл суммы и произведения двух чисел, исходные неизвестные восстанавливают из уравнения t² − st + p = 0. Буква t здесь — вспомогательная переменная, корнями будут x и y. Такой переход позволяет сначала решить более простую задачу, а после вернуть исходные переменные.
Если система симметрическая, то перестановка x и y не меняет её условий. Значит, когда пара (x, y) удовлетворяет системе, после подстановки переставленных чисел пара (y, x) также удовлетворяет ей. Это следует непосредственно из определения системы, а не из отдельного вычисления. Если x = y, перестановка даёт ту же пару; если числа различны, решения обычно записывают оба.
Симметричные выражения можно заменять через s и p, потому что сумма и произведение не меняются при перестановке чисел. Например, x² + y² = (x + y)² − 2xy, то есть s² − 2p. При такой записи уравнение выражает не отдельные x и y, а свойства их пары. Поэтому несколько симметричных условий часто превращаются в более компактную систему для двух новых величин.
Для степеней полезны тождества x² + y² = s² − 2p и x³ + y³ = s³ − 3ps. Первое получается раскрытием квадрата суммы: s² = x² + 2xy + y². Второе следует из раскрытия куба суммы и вычитания трёх произведений xy(x + y). Подставляя эти формулы в систему, заменяют степени исходных неизвестных уравнениями относительно s и p.
Когда значения s и p найдены, числа x и y должны иметь именно такую сумму и такое произведение. По теореме Виета корни уравнения t² − st + p = 0 обладают этими свойствами. Поэтому решение квадратного уравнения восстанавливает исходные числа, причём порядок корней даёт возможные упорядоченные пары. Если корни совпадают, получается одна пара; если различаются — обычно две.
Для действительных x и y дискриминант уравнения равен D = s² − 4p и должен быть неотрицательным. Но это проверяет только существование действительных корней, а не выполнение исходных уравнений. Нужно подставить восстановленные пары в систему и проверить ограничения, например запрет деления на ноль. Если при преобразовании делили на s, p, x или y, случай, когда соответствующая величина равна нулю, рассматривают отдельно, иначе можно потерять решения.
В таблице собраны часто встречающиеся замены для s = x + y и p = xy. Перед преобразованием системы проверьте, что выражение действительно симметрично, и применяйте подходящее тождество. После замены решайте уравнения для s и p, а исходные переменные восстанавливайте отдельно.
| Исходное выражение | Выражение через s = x + y и p = xy | Как использовать при решении |
|---|---|---|
| x + y | s | Заменить сумму новой переменной. |
| xy | p | Заменить произведение новой переменной. |
| x² + y² | s² − 2p | Перевести сумму квадратов в уравнение для s и p. |
| x³ + y³ | s³ − 3ps | Заменить сумму кубов, используя сумму и произведение. |
| x²y + xy² | ps | Вынести xy за скобки: xy(x + y). |
| (x − y)² | s² − 4p | Найти квадрат разности или проверить дискриминант. |
Решить систему x + y = 5, xy = 6. Здесь сразу известны сумма и произведение неизвестных, поэтому удобно использовать их как коэффициенты уравнения, корнями которого станут x и y. Такой способ сразу учитывает обе переменные. Остаётся решить квадратное уравнение и записать возможные порядки корней.
Ответ: (2, 3), (3, 2).
Решить систему x² + y² = 13, xy = 6. Непосредственно известна не сумма x + y, а сумма квадратов, поэтому сначала найдём квадрат суммы. Из него появятся два знака для s, и оба нужно проверить. Так мы не пропустим пары отрицательных чисел.
Ответ: (2, 3), (3, 2), (−2, −3), (−3, −2).
Решить систему x² + y² = 25, x²y + xy² = 84. Второе выражение раскладывается как xy(x + y), поэтому оба уравнения можно переписать через s и p. Получится система для суммы и произведения; после её решения квадратное уравнение вернёт x и y. В процессе важно отдельно убедиться, что деление на s допустимо.
Ответ: (3, 4), (4, 3).
Записать только одну упорядоченную пару — значит не учесть, что координаты решения имеют значение. Так происходит, когда найденные числа считают ответом без проверки перестановки. Для симметричной системы при x ≠ y нужно проверить и записать пару с обратным порядком. Подстановка обеих пар в уравнения помогает убедиться, что ни одна не потеряна.
Ошибки в формулах для степеней дают неверную систему для s и p. Например, в выражении s² = x² + 2xy + y² средний член равен 2p, поэтому x² + y² = s² − 2p. Перед применением полезно раскрыть квадрат суммы или куб суммы самостоятельно. Затем проверьте полученную формулу на простых числах, например x = 1 и y = 2.
Действительные корни уравнения восстановления ещё не доказывают, что система решена. Можно проверить только дискриминант и забыть, что исходные равенства могли дать дополнительные условия. Причина в том, что переход к s и p и обратное восстановление не всегда автоматически учитывают ограничения. Подставьте каждую найденную пару в исходную систему и проверьте все условия задачи.
Деление на s, p, x или y без отдельного разбора нулевого случая может отбросить решения. Обычно делят, чтобы упростить уравнение, и забывают, что делитель мог быть равен нулю. До деления запишите отдельный случай с нулевым значением и проверьте его в исходной системе. Только после этого используйте преобразование с делением.
Для решения понадобятся формулы сокращённого умножения и умение преобразовывать многочлены. Также нужно уверенно решать квадратные уравнения и применять теорему Виета: она связывает корни с коэффициентами. Эти знания помогают перейти от выражений с x и y к сумме и произведению.
Метод развивает замену переменных и опирается на тождества для суммы и произведения двух чисел. Он пригодится при решении нелинейных систем, в олимпиадных задачах и задачах о корнях многочленов. Идея везде похожа: сначала изучить свойства набора корней, а затем восстановить сами числа.
Почему в решении нужно записывать обе пары (x, y) и (y, x)?
Если система симметрическая и пара (x, y) ей подходит, то после перестановки переменных подходит и (y, x). Записывают обе пары, если x и y различны; при x = y это одна и та же пара.
Как понять, что систему можно считать симметрической?
Поменяйте в каждом уравнении x на y, а y на x. Если система при этом сохраняется или получается равносильная ей система, она симметрическая.
Зачем вводить s = x + y и p = xy?
Многие выражения, одинаково зависящие от x и y, можно просто выразить через их сумму и произведение. Так система часто становится проще и её можно решить сначала относительно s и p.
Почему после нахождения s и p появляется квадратное уравнение?
Числа x и y имеют сумму s и произведение p. По теореме Виета они являются корнями уравнения t² − st + p = 0, поэтому его решение возвращает исходные неизвестные.
Всегда ли условие s² − 4p ≥ 0 гарантирует решение исходной системы?
Нет. Это условие гарантирует лишь, что уравнение t² − st + p = 0 имеет действительные корни. Полученные значения ещё нужно проверить в исходной системе и учесть все ограничения, в том числе случаи, исключённые при преобразованиях.
4.5.3.* Симметрические системы уравнений
