"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Приближённые вычисления используют, когда точное значение нельзя получить, записать или измерить без ограничений. Число a заменяет точное значение x, а погрешность показывает, насколько они могут отличаться. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и величина, а относительная сравнивает ошибку с масштабом этой величины. Эти понятия помогают оценивать точность округления, измерений и полученных ответов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение — число a, которое используют вместо точного значения x. Запись x ≈ a означает, что эти числа близки, но не обязательно равны. Такое обозначение нужно, чтобы отличать настоящий результат от его удобной записи или оценки.
Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений: Δ = |x − a|. Модуль убирает знак и оставляет только величину отклонения. Поэтому по абсолютной погрешности можно узнать, на сколько единиц приближение отличается от точного результата.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: δ = Δ / |x|, если x ≠ 0. Она показывает, какую долю от самой величины составляет ошибка. Это позволяет сравнивать точность приближений, полученных для чисел разного размера.
Предельная абсолютная погрешность — число ε, для которого известно неравенство |x − a| ≤ ε. Оно задаёт максимально возможное отклонение приближённого значения от точного. Такая оценка особенно полезна, когда точное значение неизвестно, но известен способ округления или точность измерения.
Приближённые значения появляются при измерениях, округлении и вычислениях с неудобными или бесконечными дробями. Точное число иногда невозможно записать конечной записью, а прибор не может показать бесконечно много знаков. Поэтому нужно различать саму величину и выбранную запись: число 2,36 м может быть результатом измерения или округлением более точного значения.
Абсолютная погрешность показывает расстояние между точным и приближённым числами на числовой прямой. Именно поэтому берут модуль: не имеет значения, получилось ли приближение больше или меньше точного значения. Например, ошибки 0,3 и −0,3 отличаются направлением, но обе означают отклонение на 0,3 единицы.
Одинаковая абсолютная ошибка может иметь разное значение для разных величин. Ошибка 1 см заметна при измерении длины 5 см, но почти незаметна при измерении длины 10 м. Относительная погрешность учитывает масштаб и поэтому лучше показывает, насколько точен результат именно по сравнению с самой величиной.
Если точное значение неизвестно, вычислить настоящую погрешность нельзя, но можно установить её верхнюю границу. При обычном округлении до заданного разряда число заменяют ближайшим значением этого разряда, поэтому отклонение не превышает половины его единицы. Так, при округлении до десятых предельная абсолютная погрешность равна 0,05.
Относительную погрешность часто переводят в проценты: δ · 100%. Например, δ = 0,02 означает 2% ошибки относительно исходной величины. Чем меньше это число, тем точнее приближение с учётом масштаба, даже если абсолютные ошибки двух величин совпадают.
| Понятие | Обозначение и формула | Что показывает |
|---|---|---|
| Абсолютная погрешность | Δ = |x − a| | Величину отклонения в единицах исходной величины |
| Предельная абсолютная погрешность | |x − a| ≤ ε | Границу возможной абсолютной ошибки |
| Относительная погрешность | δ = Δ / |x| | Долю абсолютной ошибки от точного значения |
| Относительная погрешность в процентах | δ · 100% | Ту же ошибку, выраженную в процентах |
Сначала определите, известны ли точные значения или только граница ошибки. Затем выберите формулу: абсолютная погрешность отвечает на вопрос «на сколько единиц ошиблись», а относительная — «какую долю величины составляет ошибка». Если нужен процент, результат относительной погрешности умножают на 100%.
Условие: точное значение величины равно 12,4, а вместо него записали 12,1. Найдём абсолютную погрешность. Точное значение обозначим x, а приближённое — a.
Ответ: абсолютная погрешность равна 0,3.
Условие: приближённое значение числа равно 50, а его абсолютная погрешность не превосходит 0,5. Нужно оценить относительную погрешность в процентах, используя 50 как знаменатель. Так как дана граница ошибки, получим оценку сверху.
Ответ: относительная погрешность не превосходит 1%.
Условие: длину записали как 2,36 м, округлив до сотых долей метра. Требуется оценить предельную абсолютную и относительную погрешности. Последний сохранённый разряд — сотые, поэтому единица этого разряда равна 0,01 м.
Ответ: предельная абсолютная погрешность не больше 0,005 м, относительная — примерно 0,212%.
Вычитание без модуля даёт отрицательную «погрешность», если приближение больше точного значения. Так допускают ошибку, потому что путают направление отклонения с его величиной. Проверьте себя: абсолютная погрешность должна быть неотрицательной.
Абсолютную и относительную погрешности иногда считают взаимозаменяемыми. Первая имеет те же единицы, что и исходная величина, а вторая является отношением и единиц не имеет. Сверяйте ответ с вопросом: если требуется доля или процент, нужна относительная погрешность.
При округлении до разряда ошибочно берут целую единицу этого разряда. Причина в том, что забывают: число заменяется ближайшим значением, поэтому максимальный сдвиг равен половине шага. Для сотых это 0,005, а не 0,01.
Ещё одна ошибка — неправильный переход к процентам. Долю δ умножают на 100, а запись δ · 100% уже сразу означает процентный результат. Например, 0,03 — это 3%, а не 0,03%.
Для работы с погрешностями нужны округление десятичных дробей, модуль числа и вычитание. Без этих навыков трудно правильно определить границу ошибки и вычислить расстояние между значениями.
Тема напрямую связана с измерениями: показания линейки, весов или другого прибора всегда записывают с ограниченной точностью. Количество сохранённых знаков должно соответствовать возможностям прибора, иначе запись создаёт ложное впечатление точности.
Оценки погрешности применяются в приближённых вычислениях и при проверке разумности ответа. Они также нужны в численных методах, где точное решение заменяют последовательностью всё более точных приближений.
Чем приближённое значение отличается от точного?
Точное значение полностью соответствует рассматриваемой величине, а приближённое используют вместо него с некоторой допустимой ошибкой. Например, 3,14 — приближённое значение числа π, которое нельзя записать конечной десятичной дробью.
Почему абсолютную погрешность определяют через модуль?
Разность x − a может быть отрицательной или положительной в зависимости от того, завысили или занизили значение. Модуль показывает только величину отклонения, поэтому абсолютная погрешность не зависит от направления ошибки.
Может ли абсолютная погрешность быть отрицательной?
Нет, абсолютная погрешность Δ = |x − a| всегда неотрицательна. Она равна нулю только тогда, когда приближённое значение совпадает с точным.
Зачем нужна относительная погрешность, если уже известна абсолютная?
Абсолютная погрешность показывает ошибку в единицах исходной величины, но не учитывает её размер. Относительная погрешность позволяет сравнить точность измерений или вычислений для величин разного масштаба.
Как оценить погрешность числа, округлённого до заданного разряда?
При обычном округлении предельная абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего сохранённого разряда. Например, при округлении до сотых она не больше 0,005.
4.6.1. Приближенные вычисления. Абсолютная и относительная погрешность
