"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Приближённые числа неизбежно отличаются от точных, поэтому после сложения, вычитания, умножения или деления нужно оценивать возможную ошибку результата. Для суммы и разности достаточно сложить предельные абсолютные погрешности. Для произведения учитывают ещё и величины множителей, а при делении проверяют, что знаменатель не может стать нулём. Такие оценки показывают, насколько точному ответу можно доверять.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение — число, которым заменяют точное значение величины в вычислениях. Например, вместо точного значения длины можно использовать число, полученное измерением. Приближение удобно, когда точное значение неизвестно или слишком сложно вычисляется. Но при дальнейших действиях нужно помнить, что такой результат может отличаться от точного.
Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений: |a − ā|, где a — точное значение, а ā — приближённое. Если известна граница Δ, запись |a − ā| ≤ Δ означает, что ошибка не больше Δ. Модуль берут, чтобы погрешность была неотрицательной независимо от того, завысили или занизили значение. Это определение позволяет оценивать точность результата.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения. Она показывает ошибку по сравнению с размером самой величины, поэтому помогает сопоставлять точность разных измерений. Если точное значение неизвестно, при ненулевом приближённом значении её часто оценивают отношением Δ к |ā|. Это отношение записывают δ = Δ/|ā|.
Предельная погрешность — известная верхняя граница абсолютной погрешности. Например, запись |a − ā| ≤ Δ сообщает, что реальная ошибка может быть любой от нуля до Δ. Такая граница нужна, чтобы оценить точность результата, даже если сами точные значения неизвестны. При действиях с числами именно предельные погрешности подставляют в формулы оценок.
Пусть два точных числа отличаются от своих приближённых значений на ошибки eₐ и eᵦ, причём |eₐ| ≤ Δa и |eᵦ| ≤ Δb. Тогда точная сумма отличается от суммы приближений на eₐ + eᵦ. По неравенству треугольника |eₐ + eᵦ| ≤ |eₐ| + |eᵦ|, поэтому погрешность суммы не превосходит Δa + Δb. Ошибки могут сложиться, если обе направлены в одну сторону.
Для разности ошибка результата равна eₐ − eᵦ. Её модуль не превосходит |eₐ| + |eᵦ|, поэтому получается такая же граница: Δa + Δb. Нельзя заранее считать, что вычитание уничтожит часть ошибок: для этого пришлось бы знать их знаки и размеры. В гарантированной оценке учитывают худший случай, когда их действие усиливает погрешность.
Для произведения запишем точные числа как ā + eₐ и b̄ + eᵦ. Тогда (ā + eₐ)(b̄ + eᵦ) = āb̄ + āeᵦ + b̄eₐ + eₐeᵦ. После вычитания приближённого произведения āb̄ остаются три слагаемых, и модуль каждого ограничивают сверху. Так возникает оценка |ā|Δb + |b̄|Δa + ΔaΔb: ошибка одного множителя зависит от величины другого, а последний член учитывает одновременные ошибки обоих.
Если оба приближённых множителя ненулевые, можно перейти к относительным погрешностям δa = Δa/|ā| и δb = Δb/|b̄|. Разделив оценку абсолютной ошибки произведения на |āb̄|, получаем границу δa + δb + δaδb. Относительная оценка удобна, когда важна точность по сравнению с величиной самого произведения. Она не требует, чтобы множители были близки по размеру.
В частном ошибка знаменателя особенно важна: если его возможные значения подходят к нулю, частное может резко измениться. Приближённый знаменатель b̄ с погрешностью не более Δb гарантированно не равен нулю, только если |b̄| > Δb; расстояние до нуля тогда не меньше |b̄| − Δb. Эту нижнюю границу используют при оценке влияния ошибки числителя и знаменателя на частное. При относительной оценке знаменателя требуется δb < 1; надёжная граница относительной погрешности частного равна (δa + δb)/(1 − δb).
| Действие | Оценка абсолютной погрешности | Оценка относительной погрешности | Условия |
|---|---|---|---|
| Сумма a + b | Δ(a + b) ≤ Δa + Δb | Зависит от величины суммы; может быть большой при взаимном сокращении слагаемых | Абсолютные погрешности заданы |
| Разность a − b | Δ(a − b) ≤ Δa + Δb | Зависит от величины разности; может быть большой при близких значениях a и b | Абсолютные погрешности заданы |
| Произведение ab | Δ(ab) ≤ |ā|Δb + |b̄|Δa + ΔaΔb | δ(ab) ≤ δa + δb + δaδb | Для относительной оценки ā ≠ 0 и b̄ ≠ 0 |
| Частное a/b | Δ(a/b) ≤ Δa/(|b̄| − Δb) + |ā|Δb/(|b̄|(|b̄| − Δb)) | δ(a/b) ≤ (δa + δb)/(1 − δb) | |b̄| > Δb; для относительной оценки ā ≠ 0 и δb < 1 |
| Обозначения и условия | ā и b̄ — приближённые значения; Δa и Δb — границы абсолютных погрешностей | δa = Δa/|ā| и δb = Δb/|b̄| | Относительные погрешности определены при ненулевых приближённых значениях |
В таблице Δ обозначает оценку погрешности результата, а δ — оценку относительной погрешности. Сначала проверь условия в последнем столбце, затем выбирай формулу для нужного действия. Для суммы и разности относительную точность нужно оценивать отдельно: малый результат может иметь большую относительную погрешность.
Задача 1. Приближённые значения двух величин равны 12,4 и 3,7, а их абсолютные погрешности не превосходят 0,1 и 0,2. Оценить погрешность суммы и разности. В обоих случаях ошибки исходных значений могут усиливать друг друга, поэтому складываем их верхние границы. Знак действия между приближёнными значениями не меняет способ оценки.
Ответ: погрешность суммы и погрешность разности не превосходят 0,3 каждая. Это не означает, что фактические ошибки обязательно равны 0,3: они могут оказаться меньше.
Задача 2. Приближённые значения множителей равны 5 и 8, их абсолютные погрешности не превосходят 0,1 и 0,2. Оценить абсолютную и относительную погрешности произведения. В абсолютной оценке нужно учесть влияние ошибки каждого множителя и случай, когда ошибаются оба сразу. Для относительной оценки сначала найдём относительные погрешности множителей.
Ответ: абсолютная погрешность произведения не больше 1,82, относительная — не больше 0,0455, или 4,55%. Обе оценки являются верхними границами. Они учитывают, что точные множители могут отличаться от приближённых одновременно.
Задача 3. Для частного a/b известны ā = 10, b̄ = 4, Δa ≤ 0,2 и Δb ≤ 0,1. Проверить, что знаменатель не может обратиться в ноль, и оценить погрешность частного. Сначала выясним, насколько близко знаменатель может подойти к нулю. Только после этой проверки можно применять оценку для деления.
Ответ: знаменатель отделён от нуля, а погрешность частного не превосходит примерно 0,116. Округлять такую оценку вниз нельзя, иначе гарантия может потеряться. При необходимости результат округляют вверх, например до 0,12.
При вычитании иногда вычитают погрешности друг из друга, ожидая, что ошибки компенсируются. Их знаки заранее неизвестны, поэтому такое вычисление не даёт гарантированной границы. Ошибку часто подсказывает само слово «разность» в действии над числами, но для погрешностей нужно применить неравенство треугольника. Проверь себя: в оценке разности должны стоять Δa + Δb.
Ещё одна ошибка — оценивать погрешность произведения только суммой погрешностей множителей. Но влияние ошибки множителя зависит от значения другого множителя, а при раскрытии произведения появляется и произведение ошибок. Из-за этого простое сложение Δa и Δb может дать неверную границу. Проверь себя: в формуле должны быть множители |ā| и |b̄|, а также член ΔaΔb.
Относительную погрешность нельзя находить делением на нулевое приближённое значение: выражение Δa/|ā| при ā = 0 не определено. Ошибку допускают, когда механически подставляют числа в формулу, не проверяя знаменатель дроби. Перед вычислением убедись, что приближённые значения, на которые делишь, ненулевые. Если это не так, используй абсолютную оценку или выбери другой способ.
Оценка погрешности частного неприменима без проверки знаменателя. Если |b̄| ≤ Δb, возможный интервал значений знаменателя содержит ноль, и деление может стать невозможным или привести к очень большим значениям. Это условие иногда пропускают, сразу подставляя числа в формулу. Проверь себя: сначала вычисли |b̄| − Δb и убедись, что результат положителен.
Для оценок погрешностей нужны определения абсолютной и относительной погрешности, свойства модуля и правила действий с неравенствами. Свойства модуля объясняют, почему при сложении и вычитании складывают границы ошибок. Знание неравенств позволяет перейти от неизвестной фактической ошибки к её гарантированной верхней оценке. Без этих понятий формулы остаются набором правил, смысл которых трудно проверить.
Оценки погрешностей используют в приближённых вычислениях, при округлении результатов и при проверке точности ответа в задачах. Они помогают понять, сколько цифр результата можно считать надёжными. Если вычисления продолжаются несколькими действиями, погрешность каждого шага влияет на итоговую оценку. Поэтому проверка границ ошибки — часть контроля точности ответа.
Почему при вычитании погрешности не вычитают друг из друга?
Знаки ошибок неизвестны: погрешности исходных чисел могут как частично компенсироваться, так и усиливать друг друга. Поэтому для гарантированной оценки складывают их модули, как и при сложении.
Может ли фактическая погрешность суммы быть меньше суммы погрешностей?
Да. Если ошибки слагаемых имеют разные знаки, они могут частично компенсироваться. Сумма предельных погрешностей — верхняя граница, а не обязательная фактическая ошибка.
Зачем учитывать произведение погрешностей при умножении?
При раскрытии произведения (ā + ошибка)·(b̄ + ошибка) появляется член, равный произведению двух ошибок. Чтобы оценка была гарантированной, этот член тоже учитывают.
Когда относительную погрешность результата трудно оценить?
У суммы или разности она может быть большой, если результат близок к нулю из-за сокращения чисел. Относительная погрешность деления также становится большой, если знаменатель близок к нулю.
Почему перед делением нужно проверить, что знаменатель не близок к нулю?
Даже небольшая ошибка знаменателя может сильно изменить частное, если знаменатель мал. Если возможный интервал значений знаменателя содержит ноль, частное может быть неограниченно большим или вообще не определено.
4.6.2.* Погрешность суммы, разности, произведения и частного
