1.2.1. Метод построения математической теории

Определения и обозначения

Математическая теория — система понятий, утверждений и способов рассуждения, построенная по определённым правилам. Проще говоря, это связное устройство знаний, где каждое новое положение опирается на предыдущие. Такое понятие нужно, чтобы отличать строгую систему доказательств от набора разрозненных фактов.

Первоначальные понятия — понятия, которые принимаются без определения и служат исходными для построения теории. Их не объясняют через ещё более простые понятия внутри этой теории. Они создают начальный язык, с помощью которого можно описывать остальные объекты.

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательства в рамках данной теории. Аксиомы задают основные свойства объектов и правила, от которых начинают рассуждение. Их выбор зависит от того, какую математическую теорию строят.

Теорема — утверждение, истинность которого доказывается с помощью аксиом, определений и ранее доказанных теорем. В отличие от аксиомы, теорема не считается исходной: нужно показать, почему она следует из известных положений. Теоремы позволяют получать новые свойства изучаемых объектов.

Как это устроено

Теорию начинают с первоначальных понятий и аксиом, потому что невозможно определить и доказать абсолютно всё. Если каждое понятие объяснять через другое, понадобится бесконечная цепочка определений. Поэтому в начале выбирают несколько исходных слов и утверждений, а их смысл и свойства уточняют в дальнейшем.

Определения вводят новые понятия через уже известные. Например, понятие отрезка можно объяснить с помощью прямой и двух точек, поэтому оно становится точным, а не зависит от бытового представления. Благодаря определениям теория получает всё более богатый язык для описания объектов.

Из аксиом, определений и ранее доказанных утверждений получают новые теоремы. Сначала выясняют, какие известные положения связаны с условием, затем применяют их к данной ситуации. Так один доказанный результат становится основанием для следующего и постепенно расширяет наши знания.

Доказательство состоит из условия, последовательности рассуждений и вывода. Каждый шаг должен объяснять, какое правило, определение, аксиома или теорема используется. Если между двумя фразами есть непонятный переход, доказательство нельзя считать полностью обоснованным.

Когда теоремы доказывают одну за другой, возникает целостная математическая теория. Её положения связаны общей системой исходных понятий, аксиом и логических правил. Такой порядок позволяет не только запоминать свойства, но и самостоятельно получать новые выводы.

Элементы построения математической теории

Таблицу удобно читать сверху вниз: сначала находятся исходные элементы, а затем способы расширения теории. Если нужно проверить утверждение, выясните, является ли оно аксиомой, определением или теоремой. Для теоремы дополнительно найдите все основания каждого шага доказательства.

Разбор задач

Задача 1. Распознаём роль утверждений

Распределим утверждения по группам: «Через любые две точки можно провести единственную прямую»; «Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками»; «Сумма углов треугольника равна 180°». Нужно определить, что каждое из них делает в математической теории.

1. Первое утверждение в школьной геометрии принимают без доказательства. Значит, это аксиома.
2. Второе утверждение раскрывает смысл нового понятия «отрезок» через прямую и точки. Значит, это определение.
3. Третье утверждение сообщает свойство треугольника, которое получают рассуждением на основе исходных положений. Значит, это теорема.

Ответ: первое утверждение — аксиома, второе — определение, третье — теорема. При классификации нужно смотреть не только на содержание фразы, но и на её роль в принятой теории.

Задача 2. Составляем схему доказательства

Докажем утверждение: если к обеим частям равенства прибавить одно и то же число, равенство сохранится. Пусть дано a = b, а к обеим частям прибавляют число c; нужно получить a + c = b + c.

1. Записываем условие: a = b.
2. Используем свойство равенства: равные числа можно заменить равными им числами, не меняя результата одинакового действия.
3. Прибавляем c к левой и правой части: a + c = b + c.
4. Полученное равенство совпадает с выводом, поэтому утверждение доказано.

Ответ: равенство сохраняется, потому что к равным частям выполнено одно и то же действие с одним и тем же числом. Схема показывает, что вывод не возникает сам по себе: он опирается на данное равенство и известное свойство равенств.

Задача 3. Строим небольшую теорию чисел

Построим простую систему, в которой можно получить свойство чётных чисел. Возьмём исходное понятие «число», исходное утверждение «если a = b, то b = a», введём определение чётного числа и докажем простое следствие.

1. Исходным понятием считаем натуральное число. Исходное утверждение принимаем без доказательства: равенство можно читать в обратном порядке.
2. Определим: число n называется чётным, если существует натуральное число k такое, что n = 2k.
3. Пусть m = 2a и n = 2b, где a и b — натуральные числа. Тогда m + n = 2a + 2b = 2(a + b).
4. Число a + b является натуральным, поэтому m + n представлено в виде 2k. Следовательно, сумма двух чётных чисел чётна.

Ответ: мы получили теорему: сумма двух чётных чисел является чётным числом. В задаче полностью виден порядок построения: исходное понятие, исходное утверждение, определение, затем доказанное следствие.

Типичные ошибки

Аксиому принимают за доказанную теорему. Так происходит, когда путают «истинно по принятому основанию» и «получено рассуждением». Проверьте себя: если для утверждения не приводится доказательство и оно объявлено исходным, это аксиома.

Пытаются определить все понятия. Ошибка возникает из-за желания дать объяснение каждому слову, но тогда определения не будут иметь начального основания. Проверьте, опирается ли определение на первоначальные или уже введённые понятия.

Повторение условия называют доказательством. Ученик может просто переписать данное утверждение и решить, что получил вывод. Проверьте себя вопросом: указано ли, почему следующий шаг следует из известного положения?

Ссылаются на ещё не доказанную теорему. Это нарушает порядок рассуждения, даже если сама теорема кажется очевидной. В проверке замените ссылку на аксиому или ранее доказанное утверждение либо сначала докажите нужный результат.

Связь с другими темами

До этой темы нужно различать высказывание, условие и вывод, а также понимать связки «если», «то» и «тогда и только тогда». Без этого трудно увидеть строение теоремы и ход доказательства.

В геометрии аксиомы, определения и теоремы применяют при изучении фигур и доказательстве их свойств. Например, через определения описывают отрезки и углы, а затем выводят свойства треугольников.

Дальше такой способ рассуждения пригодится при доказательстве тождеств, решении уравнений и построении аргументов в алгебре и геометрии. Он помогает объяснять не только ответ, но и причину каждого действия.

Что запомнить

• Математическая теория строится по определённому логическому порядку.
• В начале теории находятся первоначальные понятия и аксиомы.
• Новые понятия вводят с помощью определений.
• Теоремы получают и обосновывают доказательствами.
• Каждый шаг доказательства должен опираться на известное положение.
• Из одних и тех же исходных положений можно получать цепочку связанных теорем.