1.2.2. Некоторые методы математического доказательства

Определения и обозначения

Математическое утверждение — предложение, которому можно приписать значение «истина» или «ложь». Например, фраза «число 8 чётное» является утверждением, а вопрос «Какое число чётное?» — нет: у вопроса нельзя определить истинность. Это различие помогает понять, что именно нужно доказывать или опровергать.

Теорема — истинное математическое утверждение, которое требуется обосновать доказательством. Теоремой может быть, например, правило о сумме чётных чисел. Это слово напоминает, что одного уверенного заявления мало: нужно показать, почему утверждение верно.

Доказательство — цепочка рассуждений, показывающая, что утверждение следует из известных фактов и условий. Каждый шаг должен опираться на определение, условие задачи или уже установленное свойство. Доказательство нужно, чтобы обосновать утверждение не для пары примеров, а для всех подходящих случаев.

Контрпример — конкретный пример, опровергающий утверждение, заявленное как верное для всех случаев. Он должен подходить под условия, но давать результат, который не согласуется с утверждением. Контрпример полезен, когда нужно быстро показать, что общее правило неверно.

Как это устроено

При прямом доказательстве рассуждение начинается с условия теоремы. Затем к нему по очереди применяют определения и известные свойства, пока не получится заключение. Такой порядок работает потому, что каждый шаг сохраняет связь с условием и объясняет, откуда взялся следующий вывод. Например, запись числа как 2k сразу позволяет использовать определение чётного числа.

Утверждение вида «если A, то B» можно доказывать от противного. Для этого предполагают, что A верно, но B неверно, и ищут следствие такого предположения. Если оно приводит к противоречию с условием или известным фактом, предположение о неверности B не подходит, значит, заключение B верно. Этот способ особенно удобен, когда прямой переход к заключению неочевиден.

В доказательстве от противного важно точно сформулировать, что означает «B неверно». Для целых чисел отрицание утверждения «число чётное» — «число нечётное»: целое число делится на 2 либо без остатка, либо с остатком 1. Нельзя произвольно заменять заключение похожей фразой, иначе рассуждение будет относиться уже к другому предположению. Перед началом доказательства полезно записать отрицание словами или через определение.

Чтобы опровергнуть утверждение, заявленное для всех подходящих объектов, достаточно найти один контрпример. Он показывает, что фраза «для всех» не выполняется, потому что хотя бы один случай ей не соответствует. Но несколько примеров, в которых правило сработало, не доказывают его: среди непроверенных случаев всё ещё может оказаться исключение. Поэтому примеры помогают заметить закономерность, а доказательство устанавливает её для всех случаев.

Метод выбирают по тому, какие рассуждения проще и надёжнее провести. Если из условия прямо следуют нужные равенства или свойства, удобно идти прямым путём. Если при предположении обратного заключения быстро получается несовместимость с условием, удобно доказательство от противного. В обоих случаях проверяй, чтобы каждый шаг был обоснован, а противоречие возникало именно с условием или установленным фактом.

Способы обоснования и опровержения утверждений

Сначала определи, требуется доказать утверждение или опровергнуть его: для этих целей подходят разные способы. Затем сравни условие задачи с таблицей и выбери ход рассуждения, который соответствует задаче. Не используй контрпример для доказательства правила: он служит только для опровержения общего утверждения.

Разбор задач

Задача 1. Докажите, что сумма двух чётных целых чисел чётна.

1. Пусть даны два чётных целых числа. По определению чётного числа первое можно записать как 2k, а второе — как 2m, где k и m — целые числа.
2. Сложим числа: 2k + 2m. Чтобы увидеть чётность суммы, вынесем общий множитель 2: 2k + 2m = 2(k + m).
3. Так как сумма целых чисел k + m тоже целая, полученное выражение имеет вид 2 на целое число. Значит, по определению оно чётное.

Ответ: сумма двух чётных целых чисел чётна. Здесь сработало прямое доказательство: мы начали с произвольных чётных чисел, а не с одного конкретного примера.

Задача 2. Докажите от противного: если квадрат целого числа нечётен, то само число нечётно.

1. Обозначим целое число буквой n. Условие говорит, что n² нечётно; требуется показать, что n нечётно.
2. Предположим обратное заключению: пусть n чётно. Тогда по определению n = 2k для некоторого целого k.
3. Возведём эту запись в квадрат: n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²). Поскольку 2k² — целое число, n² чётно.
4. Получили, что квадрат одновременно нечётен по условию и чётен по нашему предположению. Это противоречие означает, что предположение о чётности n неверно.

Ответ: n нечётно. Важно, что мы отрицали именно заключение и сопоставили вывод с исходным условием.

Задача 3. Опровергните утверждение: квадрат любого целого числа больше самого числа.

1. В утверждении сказано «любого целого числа», поэтому для опровержения достаточно проверить подходящий целый пример.
2. Возьмём число 0. Его квадрат равен 0, но 0 не больше самого себя: сравнение 0 > 0 неверно.
3. Значит, утверждение не выполняется для всех целых чисел. Число 1 тоже подходит: 1² = 1, а не 1 > 1.

Ответ: утверждение опровергнуто контрпримером 0 (также подходит 1). Мы не обязаны разбирать остальные числа, ведь одного подходящего случая, в котором фраза неверна, достаточно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать несколько проверенных примеров доказательством общего утверждения. Например, сумма двух чётных чисел может оказаться чётной в нескольких вычислениях, но это само по себе ничего не говорит обо всех целых числах. Так происходит потому, что примеры наглядны и создают впечатление правила. Проверяй себя вопросом: объяснено ли, почему рассуждение охватывает любой случай?

Вторая ошибка — не сформулировать отрицание заключения или заменить его другим условием. При доказательстве от противного нужно временно предположить именно то, что заключение неверно; например, для целого числа «нечётное» является отрицанием «чётное». Иначе доказательство может идти не о том утверждении. Перед рассуждением отдельно запиши заключение и его точное отрицание.

Третья ошибка — получить противоречие с мыслью, которая не была обоснована. Противоречие должно возникнуть с условием задачи или с уже установленным фактом, иначе оно ничего не доказывает. Эту ошибку допускают, когда принимают желаемый вывод за известный. Проверь, можешь ли указать конкретно две несовместимые фразы и откуда каждая из них получена.

Четвёртая ошибка — выбрать контрпример, который не удовлетворяет условиям утверждения. Такой пример не проверяет заявленное правило и потому не опровергает его. Например, если утверждение относится к целым числам, нельзя ссылаться на нецелое число. Перед выводом проверь два пункта: пример подходит под условия, а само утверждение на нём действительно оказывается неверным.

Связь с другими темами

Для доказательств нужны буквенные выражения и умение пользоваться определениями чётного и нечётного числа. Например, запись чётного числа в виде 2k превращает словесное условие в выражение, с которым можно выполнять вычисления. Полезно также понимать, как из одного факта получить следствие, не пропуская обоснование. Эти навыки помогают следить за точностью каждого шага.

Доказательные методы пригодятся при изучении свойств чисел и выражений, решении геометрических задач и обосновании алгебраических преобразований. В каждой из этих тем нужно отличать верное правило от наблюдения на отдельных примерах. Прямые рассуждения и доказательство от противного дают способы обосновать вывод, а контрпример помогает обнаружить границы правила.

Что запомнить

• Доказательство обосновывает утверждение для всех случаев, указанных в его условиях.
• В прямом доказательстве от условия переходят к заключению.
• В доказательстве от противного временно предполагают отрицание заключения.
• Противоречие должно возникнуть с условием задачи или с уже установленным фактом.
• Для опровержения общего утверждения достаточно одного контрпримера.
• Частные примеры не заменяют доказательство общего утверждения.