1.2.3. Логический вывод

Определения и обозначения

Логический вывод — рассуждение, в котором из известных утверждений по правилам логики получают новое утверждение. Иначе говоря, это не догадка о том, что может оказаться верным, а переход от оснований к результату по понятному правилу. Такой способ нужен, чтобы объяснить, почему математическое утверждение верно.

Посылка — утверждение, которое принимают за исходное основание вывода. Посылкой может быть условие задачи или уже доказанное правило, например «число делится на 4». Она нужна, чтобы было ясно, с чего начинается рассуждение и на какие сведения мы опираемся.

Заключение — утверждение, полученное из посылок. Например, если исходные сведения говорят, что число делится на 4, можно по известному правилу заключить, что оно чётное. Заключение показывает результат рассуждения, поэтому важно не перепутать его с исходным условием.

Следование — связь, при которой истинность посылок гарантирует истинность заключения. Это означает, что при верных основаниях и правильно применённом правиле заключение не может оказаться ложным. Понятие следования помогает отличать доказательство от совпадения или случайного удачного ответа.

Как это устроено

Логический вывод нужен, когда требуется обосновать утверждение, а не просто предположить его. Можно проверить несколько чисел и заметить, что они подходят под правило, но за пределами проверенных случаев могут встретиться исключения. Вывод связывает условие с результатом так, чтобы объяснить, почему результат верен во всех случаях, к которым относится правило. Поэтому в рассуждении важны не только ответ, но и переходы от одного утверждения к другому.

Надёжность вывода зависит от двух вещей: истинности посылок и правильности правила. Если исходное условие ложно, заключение может случайно оказаться истинным, но такой ход не доказывает его. Если посылки верны, но правило применено неверно, вывод тоже не гарантирован. Поэтому при проверке рассуждения отдельно выясняют, что известно, и отдельно — разрешает ли это получить нужный результат.

Прямой вывод строится по схеме: «если из A следует B, а A верно, то B верно». Буквы A и B обозначают утверждения: например, A — «число делится на 4», B — «число чётное». Если правило связывает A с B и конкретное число действительно удовлетворяет A, то оно удовлетворяет и B. Здесь заключение следует именно из правила и подтверждённого условия, а не из похожести утверждений.

Выводы можно соединять в цепочку. Если из A следует B, а из B следует C, то при истинности A сначала получаем B, а затем применяем второе правило и получаем C. Промежуточное утверждение B нужно не пропускать: оно показывает, почему второе правило подходит к исходным данным. Такая запись помогает не потерять связь между началом рассуждения и итогом.

Важно не менять направление условия. Из утверждения «если A, то B» и факта B нельзя автоматически сделать вывод A: B может быть истинным по другой причине. Например, если число делится на 4, то оно чётное, но не каждое чётное число делится на 4. Чтобы заключить A из B, нужно отдельное правило или дополнительное доказательство.

Элементы и схемы логического вывода

Пользуйся таблицей, чтобы определить, какое утверждение дано, а какое требуется получить. Сначала найди соответствие между условием задачи и посылками, затем выбери подходящую схему. Особенно внимательно проверяй направление: прямое правило и обратное утверждение — не одно и то же.

Разбор задач

Задача 1. Известно: если число делится на 4, то оно чётное. Число 20 делится на 4. Какой вывод можно сделать? Здесь дана связь между делимостью на 4 и чётностью, а также подтверждено условие для числа 20. Значит, можно применить схему прямого вывода.

1. Обозначим A утверждение «число делится на 4», а B — «число чётное». Из условия задачи известно: если A, то B.
2. Проверяем посылку A для числа 20: в условии сказано, что 20 делится на 4. Поэтому правило можно применить к этому числу.
3. По прямой схеме из A и связи «если A, то B» получаем B. Значит, число 20 чётное.

Ответ: число 20 чётное. Мы не проверяли это догадкой, а использовали данное правило и подтвердили его условие для конкретного числа.

Задача 2. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3. Число 48 делится на 6. Что следует заключить? Здесь даны два связанных правила, поэтому вывод нужно строить последовательно, сохраняя промежуточный результат. Нельзя сразу перескочить к последнему утверждению, не объяснив, как к нему прийти.

1. Первое правило связывает делимость на 6 с делимостью на 3. Так как 48 делится на 6, по прямому выводу заключаем, что 48 делится на 3.
2. Теперь используем полученное промежуточное утверждение во втором правиле. Если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.
3. Число 48 делится на 3, значит, сумма его цифр тоже делится на 3. Проверка: сумма цифр равна 4 + 8 = 12, а 12 делится на 3.

Ответ: сумма цифр числа 48 делится на 3. Цепочка состоит из двух переходов: от делимости 48 на 6 к делимости на 3, затем — к свойству суммы цифр.

Задача 3. Верно ли рассуждение: «Если число делится на 4, то оно чётное. Число 18 чётное. Значит, 18 делится на 4»? В условии дано правило от делимости на 4 к чётности, но в рассуждении известна только чётность числа 18. Нужно проверить, позволяет ли это заключить исходное условие, а не просто узнать, что вывод кажется правдоподобным.

1. Обозначим A: «число делится на 4», B: «число чётное». Правило сообщает, что из A следует B.
2. Для числа 18 известно B, но схема прямого вывода требует, чтобы было подтверждено A. Поэтому данное правило не позволяет получить заключение «18 делится на 4».
3. Проверяем вывод на конкретном примере: 18 чётное, так как делится на 2, но 18 не делится на 4 без остатка. Посылки верны, а заключение ложно.

Ответ: рассуждение неверно. Чётность не доказывает делимость на 4: это обратное утверждение, для которого требуется отдельное основание.

Типичные ошибки

Принимать истинность заключения за доказательство посылки. Из «если A, то B» и B нельзя без дополнительных оснований заключить A, потому что B может возникнуть по другой причине. Такую ошибку допускают, когда принимают связь в одну сторону за связь в обе стороны. Проверь себя: попробуй найти случай, когда B истинно, а A ложно.

Считать правило верным, потому что оно сработало на нескольких примерах. Несколько проверок охватывают только отдельные случаи, а не все возможные значения. Это часто кажется убедительным, если примеры похожи друг на друга. Чтобы проверить себя, спроси: есть ли обоснование для любого случая из условия, а не только для выбранных чисел?

Использовать не все условия или подменять одно из них похожим утверждением. Тогда нужный переход может оказаться необоснованным, даже если итог случайно верен. Ошибка возникает, когда читают условие невнимательно или заменяют точное свойство близким по смыслу. Перечисли все посылки и отметь, какая из них используется на каждом шаге.

Смешивать посылку и заключение. Если поменять их местами, рассуждение может превратиться в запрещённый обратный переход. Такое случается, когда запоминают только слова условия, но не следят за порядком «если A, то B». Проверь себя: подпиши, что дано, что требуется получить и в каком направлении действует правило.

Связь с другими темами

Для работы с логическим выводом нужно различать утверждения, условия и следствия, а также понимать слова «если», «то» и «и». Эти слова показывают, как связаны части рассуждения, поэтому внимательное чтение условия помогает выбрать верное правило. Навык применяется при доказательстве свойств чисел и преобразований выражений: он позволяет обосновывать каждый переход. Позже он станет основой для изучения доказательств теорем и рассуждений в геометрии.

Что запомнить

• Посылки — исходные основания рассуждения.
• Заключение получают из посылок по правилу вывода.
• Истинные посылки и правильное правило гарантируют истинность заключения.
• Из A следует B и A верно — значит, B верно.
• Выводы по цепочке можно делать последовательно.
• Из «если A, то B» не следует автоматически «если B, то A».