"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Делимость помогает понять, можно ли разделить одно натуральное число на другое без остатка. Если b = a · c, где c — натуральное число, то говорят, что b делится на a, и записывают a ∣ b. Это понятие связывает делитель, кратное и частное, помогает находить делители чисел и проверять свойства суммы, разности и произведения. Оно пригодится при работе с дробями и изучении простых чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число b делится на натуральное число a без остатка, если найдётся натуральное число c, для которого b = a · c. Это называют делимостью и записывают a ∣ b. Такая запись позволяет коротко сообщить, что b можно разделить на a нацело.
Число a называют делителем числа b, если b делится на a без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 = 4 · 5. Понятие делителя помогает выяснить, на какие натуральные числа можно разделить данное число.
Число b называют кратным числа a, если b = a · c для некоторого натурального c. Например, 20 — кратное 4, так как 20 = 4 · 5. Так можно описать сразу целый ряд чисел, получаемых умножением a на натуральные числа.
В равенстве b = a · c число c — частное при делении b на a без остатка. Число b здесь делимое, a — делитель, а само b является кратным a. Эта связь помогает проверять делимость: достаточно найти натуральное c, которое превращает делитель в делимое при умножении.
Запись a ∣ b получается прямо из равенства b = a · c: оно говорит, что b состоит из c одинаковых частей величиной a. Поэтому деление b на a даёт целое натуральное частное c, а остатка не возникает. Если такого натурального числа c нет, равенство не выполняется и записывать a ∣ b нельзя.
Одно число может делить сразу несколько чисел: например, 3 делит 6, 9 и 12, потому что каждое из них можно получить умножением 3 на натуральное число. Но у фиксированного b делителей конечное число: натуральный делитель не может быть больше b, ведь частное должно быть натуральным. Значит, проверять можно только числа от 1 до b.
Кратных у натурального числа a бесконечно много. Для каждого натурального n число a · n является кратным a, а разных значений n бесконечно много. При увеличении n произведение растёт, поэтому кратные не заканчиваются.
Делители и кратные описывают одну и ту же связь с двух сторон. Если a ∣ b, то a — делитель b, а b — кратное a; это следует из общего равенства b = a · c. Например, в равенстве 30 = 6 · 5 число 6 делит 30, а 30 кратно 6.
Свойства суммы, разности и произведения объясняются тем же представлением через умножение. Если b = a · k и c = a · m, то b + c = a · (k + m), поэтому сумма кратна a; при b > c разность равна a · (k − m). Если b = a · k, то b · n = a · (k · n), так что произведение кратного на натуральное число тоже кратно a.
| Условие | Вывод | Пояснение или пример |
|---|---|---|
| a ∣ a | Каждое натуральное число делится само на себя | a = a · 1 |
| 1 ∣ a | Единица является делителем любого натурального числа | a = 1 · a |
| a ∣ b и b ∣ c | a ∣ c | Делимость транзитивна: если b = a · k, а c = b · m, то c = a · (k · m) |
| a ∣ b и a ∣ c | a ∣ (b + c) и, если b > c, a ∣ (b − c) | Сумма и разность кратных одного числа снова кратны этому числу |
| a ∣ b | a ∣ b · c | Произведение кратного числа на любое натуральное число остаётся кратным a |
Сначала прочитай условие и найди числа, которые связаны делимостью, затем выбери подходящую строку таблицы. В пояснениях показано, откуда берётся вывод; если сомневаешься, запиши делимое как произведение делителя и натурального множителя.
Проверим, можно ли представить 84 в виде произведения 7 и натурального числа. Для этого делим 84 на 7 или подбираем множитель, который при умножении на 7 даёт 84. Полученное равенство сразу покажет все нужные названия.
Ответ: 84 делится на 7; делитель — 7, кратное — 84, частное — 12.
Ищем пары натуральных множителей, произведение которых равно 36. В каждой паре оба числа являются делителями: если 36 = u · v, то 36 делится и на u, и на v. Перебираем множители по возрастанию и останавливаемся, когда пары начинают повторяться в обратном порядке.
Ответ: натуральные делители 36 — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Оба числа 24 и 30 кратны 6. Свойства делимости позволяют сложить их или вычесть меньшее из большего: результат также будет кратен 6. Для следующих примеров достаточно умножить 6 на разные натуральные числа.
Ответ: 6 делит 54 и 6; примеры кратных 6 — 12, 18 и 24.
Путают делитель и кратное, считая, что при записи 3 ∣ 12 делителем является 12. Так бывает, если не следить за порядком чисел в записи: слева стоит делитель, справа — число, которое на него делится. Проверь себя равенством 12 = 3 · 4: оно показывает, что 3 — делитель, а 12 — кратное.
Иногда знак делимости ставят, даже если при делении есть остаток. Это происходит, когда проверяют только, что частное получилось близким к целому или что числа связаны умножением с остатком. Для проверки нужно убедиться, что b = a · c для натурального c, без добавления остатка.
Из a ∣ b ошибочно заключают, что b ∣ a. Но равенство b = a · c показывает только делимость b на a и не доказывает обратную. Например, 12 = 3 · 4, однако число 3 нельзя представить как 12, умноженное на натуральное число.
При поиске делителей могут назвать число, для которого частное не натуральное, или повторить множители одной пары. Причина ошибки — перебор без проверки произведения или остановка наугад. Составляй только пары натуральных чисел с произведением, равным исходному, и прекращай поиск, когда пары начинают повторяться в обратном порядке.
Для работы с делимостью нужны таблица умножения и свойства умножения и деления натуральных чисел. Особенно важно помнить связь деления с умножением: деление b на a выполняется без остатка, когда b можно записать как a · c с натуральным c.
Делимость пригодится при изучении простых и составных чисел, разложения на простые множители, наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Она помогает увидеть, какие числа имеют общие делители или кратные и как устроены их множители.
В практических задачах делимость помогает сокращать дроби, приводить их к общему знаменателю и распределять предметы поровну. Во всех этих случаях нужно понять, можно ли разделить количество на равные группы без остатка.
Чем делитель отличается от кратного?
Если a ∣ b, то a — делитель числа b, а b — кратное числа a. Например, для 3 ∣ 12 число 3 является делителем, а 12 — кратным.
Можно ли записать делимость, если при делении получается остаток?
Нет. Запись a ∣ b означает, что b = a · c для некоторого натурального c, то есть деление выполняется без остатка. Если остаток есть, запись делимости неверна.
Почему из a ∣ b не следует b ∣ a?
Делимость не обязана быть взаимной: равенство b = a · c не означает, что a можно представить как b, умноженное на натуральное число. Например, 12 = 3 · 4, поэтому 3 ∣ 12, но 12 не делит 3.
Как быстро найти все делители натурального числа?
Перебирай пары натуральных множителей, произведение которых равно данному числу. Если число делится на найденный множитель без остатка, второй множитель тоже является делителем; повторяющиеся пары записывай только один раз.
Почему сумма двух чисел, кратных одному числу, тоже кратна этому числу?
Пусть b = a · k и c = a · m. Тогда b + c = a · k + a · m = a · (k + m), а k + m — натуральное число. Значит, сумма делится на a без остатка.
§ 1. Делимость на множестве натуральных чисел
