"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Делимость помогает понять, можно ли разделить одно целое число на другое без остатка, и находить общие множители чисел. Если a = bc для некоторого целого c, то говорят, что a делится на b, и записывают b | a. Число b называют делителем, а a — кратным. Из этого определения следуют удобные правила: делимость можно передавать по цепочке, а суммы, разности и произведения с общим множителем тоже делятся на нужное число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число a делится на число b без остатка, если существует целое число c, для которого a = bc. Это записывают как b | a и читают: «b делит a». Такое определение позволяет проверять делимость не только делением, но и подбором целого множителя.
Если a делится на b, то b называют делителем числа a. Например, 6 — делитель 42, потому что 42 = 6 · 7. Ноль не может быть делителем: деление на ноль не определено, поэтому в записи b | a число b не должно быть равно нулю.
Если a = bc для некоторого целого c, то a называют кратным числа b. Значит, слова «b — делитель a» и «a — кратное b» описывают одну и ту же связь, но с разных сторон. Это помогает точно называть числа в задачах и не путать делимое с делителем.
Признак делимости — правило, по которому можно определить, делится ли число на другое, не выполняя деление. Например, признак подсказывает, на что обратить внимание в записи числа, чтобы быстро проверить делимость. Такие правила основаны на свойствах чисел и удобны, когда число велико.
Чтобы проверить делимость, ищут целое число c в равенстве a = bc. Например, 42 = 6 · 7, поэтому 42 делится на 6 без остатка. А при делении 43 на 6 получается остаток 1: представить 43 как 6, умноженное на целое число, нельзя, значит, 43 на 6 не делится.
Из равенства a = bc сразу видны делитель и кратное: b — делитель a, а a — кратное b. У одного числа может быть несколько делителей: например, 12 = 3 · 4 и 12 = 2 · 6, поэтому 2, 3, 4 и 6 — его делители. Кратных тоже много, потому что множитель c можно менять: 12, 24 и 36 кратны 6.
Пусть a делится на b, а b делится на c. Тогда a = bk и b = cm для некоторых целых k и m. Подставим второе равенство в первое: a = (cm)k = c(mk). Произведение mk — целое число, поэтому a делится на c; так делимость передаётся по цепочке.
Если a и b делятся на одно и то же число c, можно записать a = ck и b = cm. Тогда a + b = ck + cm = c(k + m), а сумма k + m целая, поэтому a + b делится на c. Аналогично a − b = c(k − m), и разность тоже делится на c. Причина в том, что общий множитель c сохраняется после сложения или вычитания.
Если a делится на b, то a = bk. Умножим обе части на любое целое число n: an = b(kn), а kn — целое, поэтому произведение an делится на b. Это свойство помогает проверять цепочки: если известно, что b | a, то и b | an. Для обратного вывода одной такой записи недостаточно: из делимости произведения не всегда следует делимость отдельного множителя.
| Свойство | Запись | Что следует из определения |
|---|---|---|
| Если a делится на b, а b делится на c | b | a, c | b ⇒ c | a | Если a = bk и b = cm, то a = c(mk). |
| Если a и b делятся на c, то их сумма делится на c | c | a, c | b ⇒ c | (a + b) | Если a = ck и b = cm, то a + b = c(k + m). |
| Если a и b делятся на c, то их разность делится на c | c | a, c | b ⇒ c | (a − b) | Если a = ck и b = cm, то a − b = c(k − m). |
| Если a делится на b, то произведение a на любое целое число делится на b | b | a ⇒ b | an, n ∈ Z | Из a = bk следует an = b(kn). |
В таблице символ ⇒ означает «из этого следует», а Z — множество целых чисел. Чтобы применить свойство, сначала найдите, какие числа делятся на один и тот же делитель. Затем выберите нужную строку и проверьте, что полученная сумма, разность или произведение соответствует записи.
Задача 1. Проверьте, делится ли 42 на 6, и укажите делитель и кратное. Нужно выяснить, существует ли целое число c, для которого 42 = 6c. Представление в виде произведения сразу покажет, выполняется ли определение делимости.
Ответ: 42 делится на 6; 6 — делитель 42, 42 — кратное 6.
Задача 2. Известно, что 84 делится на 12, а 12 делится на 4. Обоснуйте, что 84 делится на 4. Здесь важно не просто заметить, что числа связаны, а соединить равенства из определения делимости.
Ответ: 84 делится на 4. Это также следует из свойства цепочки делимости: если 84 делится на 12, а 12 делится на 4, то 84 делится на 4.
Задача 3. Докажите, что если числа m и n делятся на 7, то число 3m − 2n делится на 7. Поскольку в выражении есть числа m и n, заменим каждое произведением 7 на целый множитель. После этого проверим, можно ли вынести 7 за скобки.
Ответ: 3m − 2n делится на 7.
Не путайте фразы «a делится на b» и «a является делителем b». В первом случае делитель — b, а кратное — a; путаница часто появляется из-за похожих слов. Проверьте запись: b | a означает, что именно a = bc.
Запись b | a нельзя читать наоборот: она не означает, что b делится на a. Вероятно, ошибку вызывает порядок букв в вертикальной черте. Чтобы проверить смысл, замените запись равенством a = bc: делитель стоит множителем справа от знака равенства.
Из того, что сумма делится на число, не следует, что каждое слагаемое делится на него. Например, 8 + 1 = 9 делится на 3, но ни 8, ни 1 на 3 не делятся. Не делайте вывод о слагаемых без дополнительных условий; направление свойства проверяют по исходным данным.
Ноль нельзя называть делителем, потому что деление на ноль не определено. Ошибку вызывает то, что ноль встречается в примерах на кратные: например, 0 = 5 · 0, поэтому он кратен 5. Для самопроверки различайте роли: ноль может быть кратным ненулевого числа, но не делителем.
Чтобы освоить делимость, нужно уметь делить с остатком, умножать целые числа и представлять число в виде произведения. Эти навыки помогают находить множитель в равенстве a = bc и отличать точное деление от деления с остатком. Позже свойства делимости пригодятся при сокращении дробей, разложении чисел на множители и решении задач на делимость. Общий множитель позволяет обосновывать такие преобразования, а не полагаться только на вычисления.
Как понять, делится ли одно число на другое без остатка?
Нужно проверить, можно ли представить делимое в виде произведения делителя на целое число. Например, 42 = 6 · 7, поэтому 42 делится на 6 без остатка. Если при делении остаётся ненулевой остаток, делимости нет.
Что означает запись b | a?
Она означает, что число a делится на число b без остатка. Иначе говоря, существует целое число c, для которого a = bc. При этом b — делитель a, а a — кратное b.
Может ли ноль быть делителем числа?
Нет, на ноль делить нельзя: деление на ноль не определено. При этом ноль является кратным любого ненулевого числа, потому что 0 = b · 0.
Почему сумма двух чисел, делящихся на одно число, тоже делится на него?
Каждое из чисел можно записать как произведение общего делителя на целое число: a = ck и b = cm. Тогда a + b = c(k + m), а k + m — целое число. Значит, сумма делится на c.
Как доказать делимость выражения, если в нём есть несколько слагаемых?
Представьте каждое слагаемое как произведение нужного делителя на целое число. Затем вынесите общий делитель за скобки. Если выражение в скобках целое, всё выражение делится на этот делитель.
2.1.1. Делимость чисел и ее свойства
