§ 1. Рациональные числа и законы арифметики

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n ≠ 0. Все такие числа образуют множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Q. Например, 5, −2 и ¾ рациональны: целые числа тоже можно записать дробями со знаменателем 1. Это определение позволяет рассматривать целые числа и обыкновенные дроби как части одного множества.

Модуль числа — расстояние от точки, изображающей число, до начала координат; его записывают |a|. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль числа всегда равен нулю или положителен. Например, |−4| = 4 и |4| = 4: оба числа находятся на расстоянии 4 от нуля. Модуль помогает сравнивать удалённость чисел от нуля и разбираться со знаками.

Противоположные числа — это числа a и −a, сумма которых равна нулю. На координатной прямой они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него. Например, числа 6 и −6 противоположны, потому что 6 + (−6) = 0. Это понятие позволяет заменять вычитание сложением и находить разность чисел.

Обратное число для ненулевого числа a — число 1/a, произведение которого на a равно единице. Например, обратное числу 5 — 1/5, а обратное числу −2/3 — −3/2. У числа 0 обратного нет, потому что ни одно число при умножении на 0 не даст 1. Обратные числа нужны, чтобы выполнять деление через умножение.

Как это устроено

Рациональные числа объединяют целые числа и обыкновенные дроби, потому что каждое из них можно записать в виде m/n. Для целого числа достаточно взять знаменатель 1, а дроби уже имеют нужную форму. Знаменатель не может быть нулём: дробная запись означает деление числителя на знаменатель, а деление на ноль невозможно. Разные дроби могут обозначать одно и то же число, например ½ и 2/4, поэтому одну рациональную величину можно записывать по-разному.

Рациональные числа изображают точками на координатной прямой: ноль отмечают в начале, положительные числа располагают справа, отрицательные — слева. Чтобы показать дробь, единичный отрезок делят на равные части, а затем отсчитывают нужное число частей. Чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число: поэтому −2 < 1, хотя модуль числа −2 больше. Такое сравнение работает для любых рациональных чисел и помогает упорядочить их от меньшего к большему.

Сложение и умножение дробей определяют так, чтобы действия сохраняли привычный смысл и согласовывались с действиями над целыми числами. При сложении дроби приводят к общему знаменателю, складывают числители и учитывают знаки; при умножении перемножают числители и знаменатели. Вычитание заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, а разные — отрицательный; при делении делитель должен быть ненулевым.

Противоположное число связано с вычитанием, потому что вычесть b — значит прибавить число, противоположное b. Например, 7 − 3 = 7 + (−3). Обратное число связано с делением: разделить на b — значит умножить на такое число, которое обращает b в единицу, то есть на 1/b. Поэтому a : b = a · 1/b при b ≠ 0. Эти замены сводят действия с рациональными числами к сложению и умножению.

Переместительный закон разрешает менять местами слагаемые или множители, а сочетательный — по-разному объединять их в группы. Благодаря этому похожие числа можно поставить рядом и вычислить удобнее, не меняя результата. Распределительный закон связывает умножение со сложением и вычитанием: общий множитель можно вынести за скобки или, наоборот, умножить на каждое слагаемое. Эти правила помогают сокращать количество вычислений и упрощать выражения.

Рациональные числа и законы арифметики

В таблице собраны основные законы и условия, при которых ими можно пользоваться. Выбирай нужную строку по действию: например, для деления проверь, что делитель не равен нулю. Законы позволяют менять запись выражения, но не нарушать порядок действий и смысл операций.

Разбор задач

Перед вычислениями полезно определить, какие действия можно заменить более удобными. В дробных выражениях сначала учитывают знаки и общий знаменатель, а в выражениях со скобками соблюдают порядок действий. Запишем решения по шагам, чтобы было видно, почему выбран именно такой способ.

Задача 1. Вычислить: −3/4 + 5/6 − (−1/3).

1. Заменяем вычитание отрицательного числа сложением противоположного: −3/4 + 5/6 + 1/3.
2. Наименьший общий знаменатель дробей 4, 6 и 3 — 12. Получаем −9/12 + 10/12 + 4/12.
3. Складываем числители с учётом знаков: (−9 + 10 + 4)/12 = 5/12.

Ответ: 5/12. Здесь важно было не потерять знак: выражение −(−1/3) превращается в плюс 1/3. После приведения к общему знаменателю остаётся сложить целые числители.

Задача 2. Вычислить удобным способом: −2,5 · 17 + 2,5 · 7.

1. Представляем первый множитель как −2,5, а второй член — как 2,5 · 7. Замечаем, что в обоих слагаемых есть общий множитель 2,5.
2. Выносим его за скобки: −2,5 · 17 + 2,5 · 7 = 2,5 · (−17 + 7).
3. Вычисляем в скобках: −17 + 7 = −10, значит, 2,5 · (−10) = −25.

Ответ: −25. Без преобразования пришлось бы выполнять два умножения и затем складывать результаты. Распределительный закон позволяет сначала объединить числа в скобках и выполнить одно умножение.

Задача 3. Найти значение выражения: ((−3/5 + 7/10) : (−1/2)) · (−4/3).

1. Сначала считаем в первых скобках: −3/5 = −6/10, поэтому −6/10 + 7/10 = 1/10.
2. Деление на −1/2 заменяем умножением на обратное число −2: 1/10 · (−2) = −1/5.
3. Умножаем на −4/3: (−1/5) · (−4/3) = 4/15. Два отрицательных множителя дают положительный результат.

Ответ: 4/15. Здесь сначала выполняется действие в скобках, затем деление, после него умножение. Проверка знаков на каждом шаге помогает не получить ошибочный отрицательный ответ.

Типичные ошибки

Рациональными считают только дроби, забывая о целых числах. Причина — целое число не выглядит как дробь, хотя его можно записать, например, −7 = −7/1. Для проверки представь целое число в виде дроби со знаменателем 1: если знаменатель ненулевой, число рационально.

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают их модули и оставляют любой знак. Так происходит, если не различать сложение и умножение: для сложения сначала сравнивают модули, вычитают меньший из большего и ставят знак числа с большим модулем. Например, −8 + 3 = −5, а не −11. Проверить ответ можно на прямой: прибавление 3 сдвигает точку −8 вправо на три единицы.

При сокращении дробей или работе с множителями можно не заметить деление на ноль. Делить числитель и знаменатель допустимо только на общий ненулевой множитель, а делитель в действии тоже обязан быть ненулевым. Ошибку предупреждает проверка исходного выражения: убедись, что сокращаемое число не равно нулю и знаменатель не обращается в ноль.

В распределительном законе иногда пишут a(b + c) = ab + c, умножая только первое слагаемое. Так ошибаются, потому что забывают распространить множитель на всю скобку. Правильно: a(b + c) = ab + ac. Для проверки раскрой скобки отдельно по каждому слагаемому или подставь простые числа и сравни значения обеих частей.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными числами нужны знания об обыкновенных дробях, целых числах, координатной прямой и порядке арифметических действий. Правила этой темы пригодятся при преобразовании алгебраических выражений и решении линейных уравнений, где встречаются отрицательные величины. Позже те же законы помогут раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и упрощать дробно-рациональные выражения.

Что запомнить

• Рациональное число можно записать в виде m/n, где m — целое, а n ≠ 0.
• Модуль числа — неотрицательное расстояние от числа до нуля.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Деление на ненулевое число заменяется умножением на его обратное.
• При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший и ставят знак большего модуля.
• Переместительный и сочетательный законы меняют порядок слагаемых или множителей, не изменяя результата.
• Распределительный закон связывает умножение со сложением и вычитанием.