3.1.1. Множество рациональных чисел

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — целое число, не равное нулю. Числитель m может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Такое определение позволяет проверить, относится ли число к рациональным.

Множество рациональных чисел — совокупность всех чисел, представимых в виде дроби m/n с указанными условиями; его обозначают Q. Буква Q служит коротким обозначением для целой группы чисел. Это удобно, когда нужно говорить сразу обо всех рациональных числах, а не перечислять их.

Целые числа входят в Q, потому что любое целое число a можно записать как дробь a/1. Знаменатель 1 не равен нулю, значит, запись подходит под определение рационального числа. Это показывает, что для представления целого числа дробная черта не обязательна.

Равные дроби — дроби, которые имеют разные записи, но обозначают одну и ту же величину, например 1/2 = 2/4. Число 2/4 получается из 1/2 умножением числителя и знаменателя на 2. Понимание равенства дробей помогает узнавать одно рациональное число в разных записях.

Как это устроено

Знаменатель дроби показывает, на сколько равных частей делят целое, а числитель — сколько таких частей берут. Делить на ноль нельзя: невозможно разделить величину на ноль равных частей, и математическое значение такого выражения не определено. Поэтому в записи m/n знаменатель n обязательно должен быть ненулевым. И числитель, и знаменатель по определению рационального числа являются целыми числами.

Натуральные числа — это числа для счёта, а целые включают также ноль и отрицательные числа. Каждое целое a можно представить дробью a/1, потому что деление на 1 не меняет число. Например, −5 = −5/1, а 0 = 0/1. Значит, и натуральные, и целые числа являются рациональными.

Две дроби могут выглядеть по-разному, но обозначать одно число, если равны их значения. Например, 1/2 и 2/4 равны: вторую дробь получили, умножив и числитель, и знаменатель первой на 2. При этом дробь не изменилась по величине, ведь части стали вдвое мельче, но их взяли вдвое больше. Поэтому разные записи нельзя автоматически считать разными числами.

Рациональное число можно распознать не только по обыкновенной дроби. Целое число тоже подходит, поскольку его можно записать со знаменателем 1; конечная десятичная дробь превращается в обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Периодическая десятичная дробь также является рациональной: повторяющийся блок цифр позволяет представить её обыкновенной дробью. Если запись не выглядит как m/n, полезно проверить, можно ли получить такую дробь.

Множества натуральных, целых и рациональных чисел вложены друг в друга: N ⊂ Z ⊂ Q. Знак ⊂ означает, что каждый элемент меньшего множества принадлежит большему. Так происходит потому, что натуральные числа являются целыми, а каждое целое можно записать дробью со знаменателем 1. Например, число −2 принадлежит Z и Q, но не является натуральным.

Натуральные, целые и рациональные числа

Сначала определите, к какой группе относится число, а затем проверьте, можно ли записать его как m/n. Таблица показывает, что натуральные и целые числа не нужно исключать из Q: они входят в него. При классификации одного числа можно указать несколько множеств, например 3 принадлежит и N, и Z, и Q.

Разбор задач

1. Определите, какие из чисел 7, −3, 0, 2/5 являются рациональными.

Проверим каждое число по определению: для него должна существовать запись m/n с целыми m и n, причём n ≠ 0. Для целых чисел удобно использовать знаменатель 1, а дробь 2/5 уже записана в подходящем виде. Так мы проверяем не внешний вид числа, а возможность представить его нужной дробью.

1. Число 7 = 7/1, поэтому оно рациональное.
2. Число −3 = −3/1, значит, оно тоже рациональное.
3. Число 0 = 0/1, следовательно, ноль входит в Q.
4. Число 2/5 уже имеет целый числитель и ненулевой целый знаменатель.

Ответ: все четыре числа рациональные.

2. Запишите числа 6, −4 и 0 в виде дробей со знаменателем 1, а затем приведите одну из полученных дробей к равной ей дроби со знаменателем 5.

Чтобы представить целое число дробью со знаменателем 1, запишем его в числитель, не меняя значения. Затем для получения знаменателя 5 умножим числитель и знаменатель одной дроби на одно и то же число. Это сохраняет значение дроби.

1. Записываем числа: 6 = 6/1, −4 = −4/1, 0 = 0/1.
2. Выбираем, например, дробь 6/1. Чтобы знаменатель 1 стал равен 5, умножаем его на 5.
3. Умножаем на 5 и числитель: 6/1 = (6 · 5)/(1 · 5) = 30/5.

Ответ: 6 = 6/1, −4 = −4/1, 0 = 0/1; например, 6/1 = 30/5.

3. Расположите числа −3/4, 2/3, −1/2 и 0 в порядке возрастания.

Сравнивать отрицательные и положительные дроби удобнее, приведя их к общему знаменателю. Для знаменателей 4, 3 и 2 подходит общий знаменатель 12. Полученные числители можно сравнить: среди отрицательных меньше та дробь, у которой числитель отрицательнее, а любая отрицательная дробь меньше нуля.

1. Приводим дроби к знаменателю 12: −3/4 = −9/12, 2/3 = 8/12, −1/2 = −6/12.
2. Сравниваем числители: −9 < −6 < 0 < 8.
3. Возвращаемся к исходным числам и записываем порядок.

Ответ: −3/4 < −1/2 < 0 < 2/3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать дробь со знаменателем 0 рациональным числом. Её иногда включают в множество Q, потому что видят в записи числитель и дробную черту, но деление на ноль не определено. Проверьте знаменатель: он должен быть целым и отличным от нуля. Например, 3/0 не является числом.

Ошибка: думать, что рациональные числа — только обыкновенные дроби. Так можно ошибочно исключить целые и десятичные числа, хотя целое записывается со знаменателем 1, а конечная или периодическая десятичная дробь представима обыкновенной дробью. Чтобы проверить себя, попробуйте найти запись m/n. Например, −2 = −2/1.

Ошибка: считать разные записи разными числами. Числители и знаменатели у 1/2 и 2/4 отличаются, поэтому записи могут показаться разными величинами. Проверьте, не получена ли одна дробь умножением числителя и знаменателя другой на одно и то же ненулевое число. Здесь 2/4 = (1 · 2)/(2 · 2) = 1/2.

Ошибка: путать числитель и знаменатель или забывать условие для знаменателя. При записи числа m стоит над чертой, а n — под ней; именно n должен быть ненулевым целым числом. Для самопроверки прочитайте запись как деление m на n и убедитесь, что делитель не равен нулю. Например, −3/5 допустимо, а −3/0 — нет.

Связь с другими темами

До изучения рациональных чисел полезно знать натуральные и целые числа, обыкновенные дроби и равенство дробей. Эти знания помогают понять, какие числа входят в Q и почему одно число может иметь несколько дробных записей. Если понятие равных дробей пока вызывает трудности, вспомните, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значения.

Рациональные числа понадобятся при действиях с дробями, сравнении чисел и решении уравнений с рациональными коэффициентами. Запись числа на числовой прямой связывает дроби с координатами точек: каждому рациональному числу соответствует положение на прямой. Поэтому можно сравнивать числа не только вычислениями, но и по их расположению.

Что запомнить

• Рациональное число представимо в виде m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
• Множество рациональных чисел обозначают Q.
• Каждое целое число рационально: a = a/1.
• Дроби с ненулевыми знаменателями могут иметь разные записи одного и того же рационального числа.
• Множества чисел включены друг в друга: N ⊂ Z ⊂ Q.
• Конечная и периодическая десятичные дроби являются рациональными числами.