"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Теория делимости помогает понять, когда одно целое число делится на другое без остатка, и находить общие делители и кратные. Она нужна, чтобы сокращать дроби, подбирать общий знаменатель и решать задачи, где события повторяются через разные промежутки времени. Главные инструменты темы — разложение чисел на простые множители и алгоритм Евклида. С их помощью можно находить НОД и НОК, а свойства делимости позволяют проверять вычисления и делать выводы о суммах, разностях и произведениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Число a делится на b без остатка, если существует целое число q, для которого a = bq. Запись b | a читают «b делит a»: b — делитель, a — делимое, q — частное. Например, 18 = 3 · 6, значит, 3 — делитель 18. Это обозначение позволяет коротко записывать и проверять отношения делимости.
Простое число — натуральное число, у которого ровно два натуральных делителя: 1 и само число. Например, у 13 делители 1 и 13, поэтому 13 — простое. Число 1 простым не является: у него только один натуральный делитель. Различие простых и составных чисел нужно, чтобы раскладывать числа на простые множители.
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел — такой общий делитель, который делится на каждый другой их общий делитель. Например, общие делители 24 и 36 — 1, 2, 3, 4, 6 и 12, а самый большой из них — 12. НОД помогает, например, сократить дробь сразу на наибольшее возможное число.
Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Например, общие кратные 12 и 18 начинаются с 36, поэтому НОК(12, 18) = 36. НОК нужен, когда требуется найти ближайший общий знаменатель или момент совпадения повторяющихся событий.
Если a = bq, то a получается умножением b на целое число q; поэтому b делит a. И наоборот, если b | a, такое целое q можно подобрать. При умножении b на разные натуральные числа получаются его кратные: b, 2b, 3b и так далее. Множителей можно выбирать бесконечно много, поэтому у любого ненулевого числа бесконечно много кратных.
Свойства делимости следуют из записи через произведение. Если a = dm и b = dn, то a + b = d(m + n), а a − b = d(m − n), поэтому общая делимость сохраняется при сложении и вычитании. Если a = dm, то ac = d(mc), значит, произведение a на целое число c тоже делится на d. Эти правила полезны, когда нужно доказать делимость, не выполняя деление напрямую.
Если число составное, его можно представить произведением меньших натуральных чисел и продолжать раскладывать множители, пока не останутся только простые. Например, 18 = 2 · 3 · 3. Получившиеся простые числа называют простыми множителями. Теорема о единственности разложения утверждает, что любой натуральный составной множитель в итоге приводит к одному и тому же набору простых множителей, если не учитывать их порядок.
Для НОД раскладывают числа и оставляют только общие простые множители, причём каждый берут в наименьшем количестве, которое встречается в разложениях. Для НОК учитывают все простые множители, появившиеся хотя бы в одном числе, и берут каждый в наибольшем количестве. Показатель степени показывает, сколько раз множитель повторяется: например, 2³ содержит три множителя 2. Такие правила дают наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Алгоритм Евклида находит НОД с помощью деления с остатком. Если a = bq + r, то общие делители a и b совпадают с общими делителями b и r: делитель a и b делит r, а делитель b и r делит a. Поэтому можно заменять пару чисел на меньшую пару «делитель и остаток», пока остаток не станет нулём. Остатки каждый раз уменьшаются и остаются натуральными, значит, процесс обязательно закончится.
| Понятие | Определение или признак | Как находить или проверять | Пример |
|---|---|---|---|
| Делитель числа | Число, на которое исходное число делится без остатка | Проверить, что частное является целым числом | 3 — делитель числа 18 |
| Кратное числа | Число, которое делится на данное число | Представить число в виде произведения данного числа и целого множителя | 18 — кратное числа 3 |
| Простое число | Имеет ровно два натуральных делителя | Проверить отсутствие делителей от 2 до квадратного корня из числа | 13 — простое число |
| Составное число | Имеет более двух натуральных делителей | Разложить на произведение меньших натуральных чисел | 18 = 2 · 3 · 3 |
| НОД | Наибольший общий делитель нескольких чисел | Найти общие простые множители или применить алгоритм Евклида | НОД(24, 36) = 12 |
| НОК | Наименьшее общее кратное нескольких чисел | Объединить простые множители с наибольшими показателями степеней | НОК(12, 18) = 36 |
Сначала определите, какое понятие требуется применить: делитель, кратное, простое число, НОД или НОК. Затем выберите указанный способ проверки или вычисления и сравните результат с примером. Для простоты числа достаточно проверять делители от 2 до его квадратного корня: если меньшего делителя нет, большего отдельного проверять не нужно.
Задача 1. Докажите, что 2⁶ · 3³ делится на 2⁴ · 3, и найдите частное. Сравним разложения: в делимом множителей 2 и 3 не меньше, чем в делителе, поэтому после сокращения остаются только дополнительные множители. Это показывает делимость и сразу подсказывает частное.
Ответ: число делится, частное равно 36. Проверка: 2⁴ · 3 · 36 = 2⁶ · 3³.
Задача 2. Найдите НОД и НОК чисел 252 и 198, разложив их на простые множители. Сначала раскладываем каждое число, а затем используем общие множители для НОД и полный набор множителей для НОК. Сравнение показателей помогает не потерять повторяющиеся простые множители.
Ответ: НОД(252, 198) = 18, НОК(252, 198) = 2772.
Задача 3. Найдите НОД чисел 1232 и 856 алгоритмом Евклида и объясните, почему вычисления заканчиваются. При делении записываем частное и остаток; каждую пару чисел заменяем делителем и остатком. Остатки должны строго уменьшаться, поэтому нельзя получать их бесконечно много.
Ответ: НОД(1232, 856) = 8. Алгоритм заканчивается, потому что каждый ненулевой остаток меньше предыдущего положительного делителя.
Путают делитель и кратное: например, называют 18 делителем 3. Так происходит, если ориентироваться только на пару чисел и забыть, что делитель должен делить другое число без остатка. Проверка простая: 18 : 3 = 6, поэтому 18 — кратное 3, а 3 — делитель 18.
Иногда единицу считают простым числом, потому что она делит любое натуральное число. Но у простого числа должны быть ровно два натуральных делителя, а у единицы только один. Перед тем как назвать число простым, перечислите его делители: если их не два, определение не выполнено.
При поиске НОД могут взять все множители из разложений, включая те, которые есть только в одном числе, или повторить общий множитель слишком много раз. Ошибка появляется, когда правило для НОК применяют вместо правила для НОД. Проверьте каждый множитель: он должен встречаться в обоих разложениях и иметь меньший из показателей.
В алгоритме Евклида иногда останавливаются на последнем ненулевом остатке, но называют НОД нулём, или ошибочно берут последний нулевой остаток. Нулевой остаток означает лишь, что деление завершилось без остатка. Ответом всегда служит последний остаток, отличный от нуля; его можно проверить, разделив на него исходные числа.
Для изучения делимости пригодятся действия с натуральными числами, деление с остатком, степени и разложение чисел на множители. Без деления с остатком не получится разобраться в алгоритме Евклида, а без степеней неудобно сравнивать разложения. Навыки темы применяются при сокращении дробей и приведении их к общему знаменателю: НОД помогает сокращать, а НОК — находить общий знаменатель.
НОК также помогает решать задачи о событиях, повторяющихся через разные промежутки времени: он показывает, когда их циклы снова совпадут. Позже идеи делимости пригодятся при изучении многочленов и разложения алгебраических выражений на множители. Привычка искать общие множители останется той же, хотя вместо чисел появятся выражения с буквами.
Почему единица не является простым числом?
Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. У единицы только один натуральный делитель — она сама, поэтому простым числом она не считается.
Чем делитель отличается от кратного?
Если 18 делится на 3 без остатка, то 3 — делитель числа 18. А 18 — кратное числа 3, потому что его можно получить, умножив 3 на 6.
Можно ли найти НОД и НОК без разложения чисел на простые множители?
НОД можно найти алгоритмом Евклида: он использует деление с остатком. НОК двух чисел можно вычислить по формуле НОК(a, b) = a · b / НОД(a, b), поэтому для него тоже не обязательно раскладывать числа на простые множители.
Почему при поиске НОД берут меньшие показатели степеней?
Общий делитель может содержать только те простые множители, которые есть в каждом из чисел. Их количество не может превышать количество в числе с меньшим показателем, поэтому для НОД выбирают именно меньшие показатели.
Как понять, когда удобнее использовать алгоритм Евклида?
Он особенно удобен для больших чисел, если разложение на простые множители трудно выполнить. Если числа небольшие и разложения легко видны, можно быстрее найти НОД по общим простым множителям.
§ 2. Развитие теории делимости
