2.2.1. Делимость целых чисел

Определения и обозначения

Целое число a делится на целое число b, если существует целое число c, для которого a = bc; при этом b ≠ 0. Например, 24 делится на 6, потому что 24 = 6 · 4. Иначе говоря, при делении a на b не остаётся остатка, а частное c является целым. Такое определение удобно тем, что позволяет проверять делимость через умножение.

Число b называют делителем числа a, если a делится на b без остатка. Это значит, что a можно записать в виде a = bc, где c — целое число, а b ≠ 0. Например, 5 — делитель 35, поскольку 35 = 5 · 7. Понятие делителя помогает выяснить, на какие числа можно разделить данное число без остатка.

Число a называют кратным числа b, если a = bc для некоторого целого c. Например, 35 — кратное 7, потому что 35 = 7 · 5. Получается, что слова «делитель» и «кратное» описывают одну связь с разных сторон: если b делит a, то a кратно b. Это различие важно, чтобы не перепутать, какое число делят и какое получают.

Запись b | a означает «b делит a», то есть b является делителем a. Например, 6 | 24, так как 24 = 6 · 4; если делимости нет, используют запись b ∤ a. В символе слева стоит делитель, справа — число, которое делится. Краткая запись помогает быстро обозначать условие задачи и проверять, правильно ли расставлены числа.

Как это устроено

Делимость определяют через произведение, потому что деление и умножение — обратные действия. Если a делится на b без остатка, то частное c целое, а равенство деления можно записать как a = bc. И наоборот, если такое равенство выполняется для целого c, то при делении a на b получится именно c, без остатка. Например, 24 = 6 · 4 подтверждает, что 24 делится на 6.

Равенство a = bc одновременно даёт два описания одной связи. В нём число b умножается на целое c, чтобы получилось a, поэтому b — делитель a. А число a получается умножением b на целое число, значит, a — кратное b. Например, из 35 = 7 · 5 следует и 7 | 35, и то, что 35 кратно 7. Какое слово выбрать, зависит от того, о каком из двух чисел говорится.

Знак числа не мешает делимости, потому что при смене знака можно изменить знак целого множителя. Если a = bc, то −a = b · (−c), поэтому b делит −a. Также a = (−b) · (−c), значит, −b делит a, а −b делит −a, поскольку −a = (−b) · c. Во всех случаях множитель остаётся целым, так что условие делимости сохраняется.

Любое ненулевое целое число делит ноль: для такого b верно 0 = b · 0, а множитель 0 целый. Единица и минус единица делят любое целое a, потому что a = 1 · a и a = (−1) · (−a). В обоих равенствах второй множитель целый. Эти свойства напрямую следуют из определения и позволяют быстро отвечать на некоторые вопросы о делимости.

Ноль исключают из делителей, потому что деление на ноль не определено. Если бы ненулевое a делилось на 0, пришлось бы найти целое c, для которого a = 0 · c, но произведение 0 · c всегда равно нулю. Значит, при a ≠ 0 такого c не существует. Для a = 0 равенство 0 = 0 · c выполняется при любом c, поэтому единственного частного тоже нет.

Основные факты о делимости целых чисел

В таблице сначала найди условие, которое подходит к задаче, а затем прочитай следствие. Например, для проверки делимости нуля используй строку «Делимость нуля», но помни, что делитель должен быть ненулевым. Строки об изменении знака позволяют переходить от положительных чисел к отрицательным.

Разбор задач

Задача 1. Проверить, делится ли 24 на 6, и записать ответ с помощью обозначения делимости. По определению нужно найти целое число c, чтобы 24 = 6 · c. Если такое c существует, делимость подтверждена; если нет, 6 не делит 24. Проверим равенство умножением.

1. Представим 24 как произведение с множителем 6: 24 = 6 · 4.
2. Число 4 — целое, а делитель 6 не равен нулю, поэтому условия определения выполнены.
3. Запишем результат в нужном порядке: делитель слева от знака, делимое справа.

Ответ: 6 | 24.

Задача 2. Известно, что 7 | 35. Определить, делит ли 7 число −35 и делит ли −7 число 35. Начнём с равенства 35 = 7 · 5, которое объясняет данное условие. Чтобы проверить оба новых утверждения, представим соответствующие числа как произведения с нужными делителями. Целые множители покажут, сохраняется ли делимость.

1. Для числа −35 меняем знак множителя: −35 = 7 · (−5). Значит, 7 делит −35.
2. Для делителя −7 используем равенство 35 = (−7) · (−5). Множитель −5 целый, поэтому −7 делит 35.
3. В обоих случаях найдено представление вида a = bc с целым множителем.

Ответ: да, 7 | −35 и −7 | 35.

Задача 3. Найти все целые значения x, для которых 4 | x и −12 ≤ x ≤ 12. Из условия делимости следует, что x можно записать как 4k, где k — целое число. Теперь границы ограничивают возможные значения k: число 4k должно быть не меньше −12 и не больше 12. Подберём все целые множители, не пропуская крайние значения.

1. Запишем условие: x = 4k, k — целое.
2. Подставим выражение в границы: −12 ≤ 4k ≤ 12. Делим все части на положительное число 4: −3 ≤ k ≤ 3.
3. Выпишем целые k: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
4. Умножим каждое значение k на 4 и получим соответствующие x.

Ответ: x = −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12.

Типичные ошибки

Считать, что частное обязательно положительно. Так думают, потому что в первых примерах часто используют положительные числа. Но делимость требует целого частного, а не положительного: например, −35 = 7 · (−5). Проверь себя, подставив найденный множитель в равенство a = bc.

Путать делитель и кратное. В записи b | a делителем является число b, а кратным — число a. Путаница возникает из-за того, что числа связаны одним равенством, но занимают разные роли. Проверка: спроси себя, какое число умножают на целое, чтобы получить другое; множитель b — делитель, результат a — кратное.

Считать, что на ноль можно делить, если делимое тоже ноль. Равенство 0 = 0 · c верно при любом c, поэтому частное 0 : 0 нельзя определить однозначно. Само деление на ноль не определено, даже когда делимое равно нулю. Для проверки вспомни: делитель в определении делимости обязательно не равен нулю.

Проверять делимость только по совпадению знаков. Разные знаки не мешают делимости, если частное целое: 35 = (−7) · (−5), а −35 = 7 · (−5). Ошибку допускают, перенося правило о знаках произведения на условие делимости неверным образом. Проверь равенство a = bc и убедись, что множитель целый.

Связь с другими темами

Для изучения делимости нужны знания о целых числах, их умножении и целом частном: именно они используются в равенстве a = bc. Если эти понятия знакомы, делимость можно проверять, не выполняя деление столбиком. Позже она поможет разлагать числа на множители и находить общие делители и кратные. Эти умения понадобятся при изучении простых чисел и дробей.

Что запомнить

• a делится на b, если a = bc для некоторого целого c.
• В записи b | a число b — делитель числа a.
• Если b | a, то a — кратное b.
• Любое ненулевое целое число делит ноль.
• Числа 1 и −1 делят любое целое число.
• На ноль делить нельзя.