1.8. Делимость целых чисел

Определения и обозначения

Делимость целых чисел означает: целое число a делится на целое число b ≠ 0, если a = bk для некоторого целого k. Это записывают так: b | a. Определение заменяет деление поиском целого множителя k.

Делитель числа — это число b, для которого верно b | a. Иначе говоря, частное a / b является целым числом. Так можно проверять, подходит ли число в качестве множителя без остатка.

Кратное числа — число a, представимое в виде a = bk, где k — целое. Если 4 | 20, то 4 — делитель 20, а 20 — кратное 4. Одно и то же число может иметь много кратных.

Признак делимости — условие, позволяющее установить делимость без выполнения деления. Например, число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Такие признаки ускоряют вычисления и помогают строить доказательства.

Как это устроено

Определение делимости сводит вопрос к существованию целого множителя. Например, 18 = 6 · 3, значит, 6 | 18, а 25 = 5 · 5, значит, 5 | 25. Если представить число таким произведением нельзя, частное не будет целым, и делимость не выполняется.

Делитель и кратное описывают одну связь с разных сторон: при b | a число b стоит среди множителей, а a получается из него умножением на целое. Знак тоже допустим: −4 | 12, потому что 12 = (−4) · (−3). Ноль делится на любое ненулевое число, так как 0 = b · 0, но число b не может быть нулём.

Свойства делимости следуют прямо из представления чисел в виде произведений. Если a = dm и b = dn, то a + b = d(m + n), а a − b = d(m − n); выражения в скобках целые. Поэтому делимость сохраняется при сложении и вычитании, а из a = dm сразу следует ka = d(km) для любого целого k.

Из нескольких известных делимостей можно получать новые. Если d | a и d | b, то для любых целых r и s числа ra и sb делятся на d, а значит, их сумма ra + sb тоже делится на d. Поэтому d делит любую целочисленную линейную комбинацию ra + sb.

Чтобы доказать делимость выражения, его удобно разбить на части, кратные одному числу. Например, в выражении 7x + 14 можно вынести 7: 7x + 14 = 7(x + 2). Иногда сначала применяют разложение на множители, а затем отдельно доказывают, что нужные множители дают требуемую делимость.

Основные свойства делимости целых чисел

Сначала проверьте, выполнены ли условия в левой колонке. Затем выберите нужный вывод: сложение, вычитание, умножение или переход по цепочке делимости.

Последняя колонка показывает причину свойства через представление чисел произведениями. Это помогает не просто запомнить правило, а восстановить его доказательство.

Разбор задач

Во всех задачах полезно начинать с определения: нужно получить запись вида заданное число · целое число. Если это неудобно, выражение преобразуют, используя свойства делимости. Каждый шаг должен объяснять, откуда берётся общий делитель.

Докажите, что 5 делит число 35.

Нужно установить, существует ли целое число k, для которого 35 = 5k. Подходящее представление видно сразу: 35 состоит из семи пятёрок.

1. Запишем число: 35 = 5 · 7. Число 7 является целым множителем.
2. По определению делимости заключаем: 5 | 35.

Ответ: 5 делит 35.

Докажите, что если d | a и d | b, то d | (3a − 2b).

Из условий следует, что оба числа имеют множитель d. Обозначим соответствующие целые множители буквами m и n, а затем вынесем d за скобки.

1. Пусть a = dm и b = dn, где m и n — целые числа.
2. Тогда 3a − 2b = 3dm − 2dn = d(3m − 2n).
3. Число 3m − 2n целое, значит, выражение имеет вид d · целое число.

Ответ: d | (3a − 2b).

Докажите, что для любого целого n число n³ − n делится на 6.

Разложим выражение так, чтобы увидеть три последовательных целых числа. Среди них обязательно найдутся множители, дающие делимость на 2 и на 3.

1. n³ − n = n(n² − 1) = n(n − 1)(n + 1).
2. Среди n − 1, n и n + 1 есть чётное число, поэтому произведение делится на 2.
3. Среди трёх последовательных целых чисел есть число, кратное 3, поэтому произведение делится на 3.
4. Делимость на 2 и на 3 даёт делимость произведения на 6, так как 2 и 3 взаимно просты.

Ответ: 6 | (n³ − n) для любого целого n.

Типичные ошибки

Путают фразы «a делится на b» и «a делит b». В записи b | a делителем является левое число b, а кратным — правое a. Проверяйте себя вопросом: какое число получается умножением другого на целое?

Считают делимость просто возможностью выполнить деление. Но частное должно быть целым: 7 / 2 вычислить можно, однако 2 не является делителем 7. После деления всегда проверяйте отсутствие дробной части.

Применяют свойство сложения, зная только одну делимость. Из d | a нельзя сразу заключить d | (a + b), пока не доказано d | b. Перед правилом выпишите оба условия.

Забывают о нуле и знаках чисел. Ноль делится на любое ненулевое число, отрицательные делители допустимы, а деление на ноль не определено. Отдельно проверяйте, не оказался ли делитель равным нулю.

Связь с другими темами

Для понимания делимости нужны целые числа, умножение и деление с остатком, а также смысл целого частного.

Эти понятия используются при разложении чисел на множители, поиске общих делителей и изучении простых чисел.

Свойства делимости помогают доказывать утверждения о целочисленных выражениях и решать задачи на остатки.

Что запомнить

• b | a означает, что a = bk для некоторого целого k.
• Если b | a, то b — делитель a, а a — кратное b.
• Если d делит каждое из слагаемых, то d делит их сумму и разность.
• Если d | a, то d | ka для любого целого k.
• Делимость передаётся по цепочке: если d | a и a | b, то d | b.
• На ноль делить нельзя, но ноль делится на любое ненулевое целое число.