1.7. Доказательство числовых неравенств

Определения и обозначения

Числовое неравенство — это запись, в которой сравниваются два числа или числовых выражения с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Например, 7 > 3 означает, что семь больше трёх, а x + 2 ≥ 5 задаёт условие на x. Неравенство называют строгим, если в нём стоят знаки > или <, и нестрогим, если стоят ≥ или ≤. Это различие показывает, допускается ли равенство сравниваемых величин.

Доказательство неравенства — последовательность рассуждений, которая подтверждает его истинность при заданных условиях. Например, при доказательстве A ≥ B можно показать, что A − B ≥ 0. Такая запись помогает свести сравнение двух выражений к исследованию одного выражения и особенно удобна, когда разность раскладывается на очевидно неотрицательные множители.

Равносильные преобразования — действия, после которых исходное и полученное неравенства имеют один и тот же смысл при оговорённых условиях. Прибавление одного и того же числа к обеим частям сохраняет знак; умножение на положительное число тоже сохраняет его. Умножение или деление на отрицательное число меняет знак на противоположный, поэтому знак множителя нужно установить заранее.

Как это устроено

Чтобы доказать A > B, часто рассматривают разность A − B. Если удаётся показать, что она положительна, то A действительно больше B: из A − B > 0 следует A > B. Для нестрогого сравнения достаточно доказать A − B ≥ 0. Этот способ полезен потому, что разность иногда упрощается, раскладывается на множители или сводится к квадрату, знак которого известен.

В преобразованиях важно сохранять смысл сравнения. Если к обеим частям прибавить одно и то же число, они сдвинутся одинаково и порядок не изменится. Умножение на положительное число также не меняет, какая часть больше, а отрицательное число меняет направление порядка: например, из 2 < 5 следует −2 > −5. Поэтому перед умножением или делением на выражение с переменной надо знать его знак.

Знак выражения иногда определяют с помощью свойств степеней и простых тождеств. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: t² ≥ 0, потому что произведение двух одинаковых чисел не может быть отрицательным. Например, (a − b)² ≥ 0 раскрывается как a² − 2ab + b² ≥ 0, откуда a² + b² ≥ 2ab. Так доказательство получается не из догадки о результате, а из верного утверждения, которое выполняется при любых действительных a и b.

Иногда полезно рассмотреть случаи. Если в доказательстве появляется выражение x, знак которого заранее неизвестен, можно отдельно разобрать x > 0, x = 0 и x < 0, если это соответствует условиям задачи. Такой разбор предотвращает ошибку при делении или умножении на x. Если условие уже гарантирует, что x положителен, достаточно прямо указать это и использовать сохранение знака.

Равенство в нестрогом неравенстве тоже требует внимания. Если из рассуждений получено A − B ≥ 0, то равенство A = B возможно именно тогда, когда разность равна нулю. Например, (x − 1)² ≥ 0 обращается в равенство при x = 1. Проверка этого случая помогает понять, можно ли заменить знак ≥ на > и не потеряны ли условия, при которых достигается граница.

Основные приёмы доказательства

Сначала посмотри, что проще: преобразовать исходные части или вычислить их разность. Затем выбери приём, который опирается на известный знак и не требует недоказанных предположений. После решения проверь, что условия задачи использованы правильно и равенство возможно именно там, где оно должно быть.

Разбор задач

Задача. Докажите, что при x > 0 выполняется x + 1/x ≥ 2. Здесь нужно сравнить выражение с числом 2, а условие x > 0 заранее сообщает знак переменной. Это важно: далее мы будем делить неравенство на x, и такая операция сохранит знак только при положительном x.

1. Перенесём 2 в левую часть и рассмотрим разность: x + 1/x − 2. Такое начало удобно, потому что достаточно доказать неотрицательность разности. Приведём её слагаемые к общей дроби, учитывая, что x не равно нулю из-за условия x > 0.

2. Получаем x + 1/x − 2 = (x² − 2x + 1)/x. Числитель является квадратом разности: x² − 2x + 1 = (x − 1)². Поэтому разность равна (x − 1)²/x, и теперь можно отдельно оценить знак числителя и знаменателя.

3. Квадрат (x − 1)² неотрицателен при любом x, а знаменатель x положителен по условию. Значит, дробь (x − 1)²/x неотрицательна, то есть x + 1/x − 2 ≥ 0. Прибавляя 2 к обеим частям, получаем требуемое неравенство.

4. Проверим случай равенства: дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, то есть x − 1 = 0. Получается x = 1, что удовлетворяет условию x > 0. При остальных положительных x квадрат числителя положителен, поэтому неравенство строгое.

Ответ: при x > 0 выполняется x + 1/x ≥ 2; равенство достигается при x = 1. В доказательстве использованы неотрицательность квадрата и положительность знаменателя. Если бы условие x > 0 отсутствовало, вывод о знаке дроби нельзя было бы сделать без дополнительного разбора.

Типичные ошибки

• Деление на выражение неизвестного знака. Ученик может разделить обе части на переменную и оставить знак прежним, потому что воспринимает переменную как обычное положительное число. Но при отрицательном делителе знак нужно поменять, а при нулевом деление вообще невозможно. Перед таким шагом установи знак выражения из условия или разбери случаи.

• Возведение обеих частей в квадрат без проверки знаков. Это действие сохраняет порядок не для любых чисел: например, −3 < 2, но 9 > 4. Ошибка возникает из-за неверного переноса свойства квадрата на все действительные числа. Проверь, что обе части неотрицательны, прежде чем возводить их в квадрат.

• Подмена доказательства проверкой нескольких значений. Подстановка удобных чисел может подтвердить примеры, но не доказывает утверждение для всех значений, указанных в условии. Такая проверка полезна, чтобы заметить ошибку или найти возможный случай равенства, однако не заменяет общего рассуждения. В конце доказательства проследи, что каждый переход верен для всех допустимых значений.

• Потеря условий задачи. При преобразованиях можно забыть, что знаменатель не равен нулю или переменная положительна. Часто это происходит, когда решение записывают цепочкой без объяснения, почему операция разрешена. Выпиши ограничения в начале и сверяй с ними каждый шаг, особенно деление и извлечение корня.

Связь с другими темами

Доказательство неравенств опирается на свойства числовых выражений, раскрытие скобок и разложение многочленов на множители. Неотрицательность квадрата связывает эту тему с формулами сокращённого умножения и изучением функции y = x². Умение определять знак выражения понадобится при решении неравенств с переменной, где требуется найти все подходящие значения. Те же рассуждения помогают обосновывать оценки выражений и сравнивать результаты вычислений.

Что запомнить

• Доказать A > B можно, показав, что A − B > 0; для A ≥ B достаточно доказать A − B ≥ 0.

• Прибавление одного и того же числа сохраняет знак неравенства; умножение на положительное число сохраняет знак, а на отрицательное меняет его.

• Перед делением или умножением на выражение установи его знак и проверь, не может ли оно быть равно нулю.

• Квадрат действительного числа неотрицателен: t² ≥ 0. Это свойство часто служит основой доказательства.

• Проверяй, для каких значений достигается равенство, и убедись, что они удовлетворяют исходным условиям.