1. Доказательство числовых неравенств

Определения и обозначения

Числовое неравенство — утверждение о сравнении двух чисел с помощью знаков >, <, ≥ или ≤. Например, 7 > 4 означает, что семь больше четырёх. Такое обозначение позволяет кратко записывать результат сравнения и выполнять с ним дальнейшие преобразования.

Строгое неравенство записывают со знаком > или <. Оно означает, что сравниваемые числа не равны: запись a > b исключает случай a = b. Строгие неравенства используют, когда граница не входит в рассматриваемое сравнение.

Нестрогое неравенство имеет знак ≥ или ≤. Оно допускает равенство чисел, поэтому a ≥ b означает либо a > b, либо a = b. Это нужно, когда сравниваемое значение может совпасть с границей.

Доказательство числового неравенства — последовательность рассуждений, устанавливающих истинность неравенства на основе известных свойств чисел. В доказательстве каждый переход должен быть объясним. Обычно выражение преобразуют до вида, где его знак становится очевидным.

Как это устроено

Сравнение чисел можно свести к исследованию знака их разности. Если a − b > 0, то к обеим частям прибавление b даёт a > b; аналогично, из a − b < 0 следует a < b. Поэтому вместо непосредственного сравнения сложных выражений находят знак разности и представляют её в удобном виде.

Прибавление или вычитание одного и того же числа не меняет порядок чисел, потому что оба числа сдвигаются по координатной прямой на одинаковое расстояние. Если a > b, то после прибавления c получаем a + c > b + c. Вычитание — это прибавление числа −c, поэтому правило работает и для него.

Умножение на положительное число растягивает расстояние от нуля, но не меняет направление на координатной прямой. Поэтому из a > b и c > 0 следует ac > bc. Отрицательный множитель сначала меняет направление, поэтому при c < 0 получаем ac < bc; при делении действуют те же правила, если делитель не равен нулю.

Транзитивность позволяет соединять несколько сравнений в цепочку. Если a > b и b > c, то число a находится правее b, а b — правее c, значит, a правее c и a > c. Промежуточное число можно исключить, что особенно удобно при сравнении выражения с двумя границами.

Доказательство строят так: выбирают разность или преобразуют части неравенства, затем выносят общий множитель, приводят дроби к общему знаменателю либо используют известные свойства корней. После каждого шага проверяют, не изменился ли знак из-за умножения или деления. Цель состоит в том, чтобы прийти к сравнению вроде 0 > 0, положительной дроби или произведения положительных множителей.

Свойства числовых неравенств

Таблицу удобно использовать как проверку перед преобразованием неравенства. Сначала найдите действие и убедитесь, что выполнено его условие, особенно условие о знаке множителя или делителя. Если направления двух неравенств одинаковы, их можно сложить почленно.

Разбор задач

1. Доказать, что ¾ + ⅔ > 1. Здесь удобно сравнить левую часть с единицей после приведения дробей к общему положительному знаменателю.

1. Общий знаменатель дробей 4 и 3 равен 12: ¾ = 9/12, а ⅔ = 8/12.
2. Складываем: ¾ + ⅔ = 17/12.
3. Так как 1 = 12/12, а 17/12 > 12/12, исходное неравенство доказано.

Ответ: ¾ + ⅔ = 17/12 > 1.

2. Доказать, что −3/7 < −2/5. Знаменатели положительны, поэтому можно умножить обе части на общий положительный знаменатель 35 и не менять знак.

1. Умножаем неравенство на 35: (−3/7) · 35 < (−2/5) · 35.
2. Получаем −15 < −14.
3. На координатной прямой −15 расположено левее −14, значит, полученное сравнение верно и исходное неравенство доказано.

Ответ: −3/7 < −2/5.

3. Доказать, что (√7 − √5)/(√7 + √5) > 0. Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют один знак; проверим, что оба они положительны.

1. Числа 7 и 5 положительны, поэтому их корни положительны. Кроме того, 7 > 5, значит, √7 > √5 и √7 − √5 > 0.
2. Сумма √7 + √5 положительна как сумма двух положительных чисел.
3. Частное положительного числителя и положительного знаменателя положительно, поэтому исходное неравенство верно.

Ответ: (√7 − √5)/(√7 + √5) > 0.

Типичные ошибки

При умножении или делении на отрицательное число иногда оставляют прежний знак. Так происходит, если правило для положительного множителя применяют автоматически. Перед действием поставьте рядом условие о знаке множителя: при минусе знак нужно перевернуть.

Возведение обеих частей в квадрат считают всегда допустимым сохранением неравенства. Ошибка возникает потому, что квадраты отрицательных и положительных чисел сравниваются иначе: например, −3 < 2, но 9 > 4. Проверьте знаки обеих частей и наличие условий неотрицательности.

Иногда складывают неравенства с разными направлениями или без проверки условий. Свойство сложения применяют почленно и обычно к неравенствам одного направления: a > b и c > d. Запишите рядом левую и правую части каждого сравнения, чтобы не перепутать их.

Отдельные подстановки не доказывают общее числовое неравенство, если выражение содержит переменные или параметры. Один удачный пример подтверждает только один случай. Для проверки преобразуйте разность, сравните части или обоснуйте знак каждого множителя.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны порядок чисел на координатной прямой, действия с дробями, степени и корни. Также важно уметь преобразовывать выражения и учитывать допустимость деления.

Эти свойства непосредственно применяются при решении неравенств с одной переменной и систем неравенств. Благодаря им можно переходить от исходной записи к равносильной, не теряя решений.

Доказательство неравенств помогает оценивать выражения, обосновывать тождества и исследовать функции. Сравнение знаков и промежутков становится основой дальнейшего анализа поведения графиков.

Что запомнить

• Положительная разность a − b означает, что a > b.
• Прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства не меняет его знак.
• Умножение или деление на положительное число не меняет знак неравенства.
• Умножение или деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный.
• Из a > b и b > c следует a > c.
• Перед преобразованием нужно определить знаки множителей, делителей и выражений.
• Доказательство должно состоять из обоснованных преобразований, а не только из вычислений.