3.5*. Замена неизвестного при решении неравенств

Определения и обозначения

Замена неизвестного — переход от исходной переменной x к новой переменной t, выбранной так, чтобы неравенство стало проще. Например, выражение x² в неравенстве четвёртой степени можно обозначить буквой t. Это нужно, чтобы свести сложную запись к знакомому виду и решить задачу привычным способом.

Новая переменная — выражение от x, обозначенное буквой t и превращающее сложную часть неравенства в один элемент. Если положить t = √(x + 1), то повторяющиеся корни можно заменить на t. Благодаря этому легче увидеть, какое неравенство нужно решать, но допустимые значения t всё равно задаются исходным выражением.

Обратная замена — восстановление исходной переменной x после решения неравенства относительно t. Если для t найден промежуток, нужно выразить через него подходящие значения x. Этот шаг необходим, потому что ответ задачи должен быть записан для исходной переменной.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — ограничения на x и t, которые необходимо учитывать до и после замены. Например, знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. ОДЗ помогает не включить в ответ значения, при которых исходное выражение не определено.

Как это устроено

Для замены выбирают выражение, которое повторяется или помогает получить знакомый тип неравенства. В x⁴ − 5x² + 4 повторяется x²: если обозначить его через t, получится квадратный трёхчлен t² − 5t + 4. Такая замена полезна, потому что вместо четвёртой степени и квадрата остаётся стандартное квадратное неравенство, которое можно решить методом интервалов.

Ограничения на новую переменную устанавливают потому, что t не является независимым числом: оно получено из выражения с x. Например, t = x² не может быть отрицательным, а при t = √(x + 1) обязательно t ≥ 0. Если решать неравенство без этих условий, можно получить допустимые для алгебраической записи, но невозможные для исходной замены значения.

После подстановки неравенство решают только относительно t. Если получилось квадратное неравенство, находят его корни и определяют нужные промежутки по знаку трёхчлена или методом интервалов. Затем найденное множество пересекают с допустимыми значениями t: так сохраняются только те результаты, которые могли возникнуть из исходного выражения.

Обратная замена может давать несколько случаев, поскольку одному t иногда соответствуют разные x. Например, из t = x² при t > 0 следует x = −√t или x = √t, а не только положительное значение. Поэтому промежуток для t нужно переводить в значения x с учётом обеих ветвей; при t = 0 обе формулы дают одно и то же число.

В конце проверяют ОДЗ исходного неравенства и условия, использованные при преобразованиях. Для дробей проверяют, что знаменатель не обращается в ноль, а для корней — что подкоренное выражение неотрицательно. Такая проверка позволяет убрать посторонние решения и убедиться, что ответ записан именно для исходной переменной x.

Примеры замены неизвестного и необходимые ограничения

Таблица помогает заранее увидеть, какие условия возникают при разных заменах и что потребуется сделать после решения неравенства по t. Ограничение на x проверяют в исходном выражении, а допустимые значения t — при решении преобразованного неравенства. Последняя строка напоминает, что обратной замены недостаточно без проверки результата.

Разбор задач

Задача 1. Решить неравенство x⁴ − 5x² + 4 > 0. Повторяющаяся часть здесь x², поэтому введём t = x²; тогда t ≥ 0. После решения квадратного неравенства вернёмся к x и учтём, что квадрат имеет две ветви.

1. Подставим t = x² и решим t² − 5t + 4 > 0. Разложение на множители даёт (t − 1)(t − 4) > 0, поэтому t < 1 или t > 4. С учётом t ≥ 0 получаем 0 ≤ t < 1 или t > 4.
2. Теперь заменим t обратно на x². Условие 0 ≤ x² < 1 равносильно −1 < x < 1, а x² > 4 означает x < −2 или x > 2. В обоих случаях учитываем и положительные, и отрицательные значения x.
3. Границы x = −1, 1, −2 и 2 не включаются: исходное неравенство строгое. Полученные промежутки не нарушают ограничений исходного выражения, в котором нет знаменателей или корней. Ответ: (−∞; −2) ∪ (−1; 1) ∪ (2; +∞).

Задача 2. Решить (x + 1/x)² − 5(x + 1/x) + 6 ≤ 0, x ≠ 0. Обозначим t = x + 1/x: выражение становится квадратным, но t не может быть любым числом. Для действительных x ≠ 0 выполняется |t| ≥ 2, и это условие понадобится после решения.

1. Решаем t² − 5t + 6 ≤ 0: получаем (t − 2)(t − 3) ≤ 0, то есть 2 ≤ t ≤ 3. Пересечение с условием |t| ≥ 2 оставляет отрезок [2; 3]. Значения t из этого отрезка положительны.
2. Ищем x, для которых 2 ≤ x + 1/x ≤ 3. Так как x + 1/x ≥ 2, здесь x должен быть положительным: при x < 0 сумма не превосходит −2. Умножаем верхнее неравенство x + 1/x ≤ 3 на положительное x и получаем x² − 3x + 1 ≤ 0.
3. Корни трёхчлена равны (3 − √5)/2 и (3 + √5)/2; неравенство выполняется между ними. Эти числа положительны и не равны нулю, поэтому условие исходной дроби соблюдено. Ответ: [(3 − √5)/2; (3 + √5)/2].

Задача 3. Решить (x + 1)² − 5√(x + 1) + 4 ≥ 0. Сначала требуется x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ −1. Положим t = √(x + 1); тогда t ≥ 0 и (x + 1)² = t⁴, поэтому выражение превращается в t⁴ − 5t + 4 — но это не квадратное неравенство по выбранной замене.

Чтобы получить квадратное, здесь нужна замена t = √(x + 1) только при наличии члена, выраженного через t², а не t⁴. Однако данное выражение после подстановки содержит t⁴ − 5t + 4, которое не раскладывается на очевидное квадратное неравенство. Проверим указанную структуру: при исходной записи (x + 1)² = t⁴, поэтому решение потребовало бы отдельного метода. Следовательно, применим допустимую замену t = x + 1: неравенство становится t² − 5√t + 4 ≥ 0 при t ≥ 0, что также не является квадратным.

1. Условие существования корня даёт x ≥ −1. Подстановка t = √(x + 1) переводит исходное выражение в t⁴ − 5t + 4 ≥ 0 при t ≥ 0. Обозначим левую часть через f(t).
2. Уравнение f(t) = 0 имеет корень t = 1, а разложение даёт (t − 1)(t³ + t² + t − 4), так что точное решение потребовало бы исследования кубического выражения. Это показывает, что заявленная замена не приводит к квадратному неравенству, хотя условие плана предполагает такой способ. Нельзя подменять вычисления этим ожиданием.
3. Поэтому пример в данной формулировке не имеет простого решения методом квадратного неравенства; после замены ответ надо было бы получать исследованием t⁴ − 5t + 4 ≥ 0. Вывод: для обещанного в плане решения условие задачи или выражение в нём должно быть другим; заменой t = √(x + 1) получить квадратное неравенство нельзя.

Типичные ошибки

• Не указывают допустимые значения t. Тогда в ответ попадают значения, которым не соответствует ни одно x. Так делают, когда воспринимают t как совершенно независимую переменную. Проверьте себя: сразу после записи замены укажите, например, t ≥ 0 для t = x².
• Забывают выполнить обратную замену. Решение только относительно t ещё не отвечает на вопрос о значениях x. Ошибку легко заметить: если в итоговом ответе осталась буква t, вернитесь к исходной формуле замены и выразите через неё x.
• При t = x² оставляют только x = √t. Так теряются отрицательные значения x, потому что и положительное, и отрицательное число имеют один квадрат. Для проверки запишите обе возможности x = ±√t при t > 0; отдельно учтите t = 0.
• Не проверяют ОДЗ исходного выражения. Например, при замене t = x + 1/x условие x ≠ 0 сохраняется и после решения по t. Его пропускают, когда сосредоточены только на преобразованном неравенстве. Сверьте ответ со всеми исходными ограничениями и исключите недопустимые x.

Связь с другими темами

Для замены неизвестного нужны навыки решения квадратных неравенств, метода интервалов и нахождения ОДЗ. Она также опирается на преобразование выражений, свойства квадратного корня, степеней и дробей: без них нельзя правильно выбрать замену и найти ограничения. Метод особенно полезен для биквадратных, сложных рациональных и иррациональных неравенств, где повторяющаяся часть мешает увидеть знакомую структуру.

Что запомнить

• Замена должна упрощать структуру неравенства.
• До решения установите ограничения на x и новую переменную.
• После подстановки решайте неравенство относительно новой переменной.
• При обратной замене учитывайте все возможные значения x.
• Проверьте найденные решения по ОДЗ исходного выражения.
• Записывайте ответ относительно исходной переменной x.